データの活用：標準化と変動係数

このモジュールで学ぶこと 「数学80点と英語75点、どちらの方が優秀だったか？」——科目ごとに平均や難しさが違うので、点数そのものを比べても意味がありません。このモジュールでは、単位や規模の違いを取り除いてデータを公平に比較する方法——z得点・変動係数・指数化——を学びます。 z得点：「何標準偏差分離れているか」 数学（平均60点・標準偏差10点）で80点を取った生徒Aと、英語（平均70点・標準偏差5点）で75点を取った生徒B——どちらが相対的に優れているでしょうか？点数だけでは判断できませんが、「平均からどれだけ離れているか」を標準偏差の単位で測れば比較できます。 各データ値と平均の差を偏差といいます：。偏差の総和は必ず0になります（正と負が打ち消し合うためです）。この偏差を標準偏差で割って「何標準偏差分離れているか」を表したのがz得点（標準化スコア）です： なら平均より上、 なら平均より下。先ほどの例では生徒A（数学）の 、生徒B（英語）の なので、生徒Aの方が相対的に優秀です。z得点に変換したデータ全体の平均は0、標準偏差は1になります。 z得点 = 偏差 ÷ 標準偏差。単位の異なるデータや、平均の異なるデータを同じ土台で比較するときに使います。 変動係数：規模の違うデータの「相対的な散らばり」を比べる z得点は「どの位置にあるか」を表しますが、「どれだけばらついているか」を異なる規模のデータ間で比較したいときはどうすればよいでしょうか？たとえば「成人の体重（平均60kg・標準偏差8kg）」と「大学生の月の小遣い（平均15,000円・標準偏差3,000円）」のどちらの方が相対的にばらついているかは、標準偏差を直接比べても単位が違うため意味がありません。 変動係数（CV: Coefficient of Variation）は標準偏差を平均で割ることで無次元化し、相対的な散らばりを表します： 体重のCV = 、小遣いのCV = となり、小遣いの方が相対的な散らばりが大きいとわかります。CVが大きいほど、平均に対してばらつきが大きいことを意味します。 変動係数は「単位が違うデータ間の散らばり比較」に使う。平均が大きく異なる2つのデータ群を比べるときにも有効です。 指数化：「基準との比」で時系列・グループを比べる 変動係数が「同時点での比較」に役立つのに対し、「時間の経過による変化」を見たいときに使うのが指数化です。「2020年より2024年の売上はどれだけ増えたか」を表す方法として、基準時点の値を100として相対値に変換します： が基準時点の値、 が比較時点の値です。たとえば2020年の売上が1,000万円（基準100）、2024年が1,300万円なら指数は130——「30%増加」したことが一目でわかります。物価指数（CPI）や株価指数などはこの原理で作られています。 複数の商品の価格変動を一つの指数にまとめるときは、各商品の「重要度（ウェイト）」を掛けて加重平均をとります（ラスパイレス指数など）。 指数 = (比較値 ÷ 基準値) × 100。基準年が100、それより高ければ「基準より増加」、低ければ「基準より減少」です。