離散型確率分布

このモジュールで学ぶこと 「コインを10回投げたとき、表が出る回数」は0〜10の整数しかとりません。このように取りうる値が飛び飛びの整数になる確率変数を離散型確率変数といいます。サイコロの目・不良品の個数・1時間の電話件数など、日常の多くの場面がこの種の確率変数で記述できます。代表的な分布の形と特徴を学びます。 確率質量関数と期待値：「各値の確率」を整理する サイコロを1回振るとき、出る目は1〜6のどれかで、それぞれの確率は1/6です。このように「確率変数 $X$ がある値 $k$ をとる確率」を整理したものを確率質量関数（PMF: Probability Mass Function） といい、$P(X=k)$ と書きます。 この確率変数の「平均的な値」を表すのが期待値（または平均）です。各値 $k$ に確率の重みをかけて合計します： サイコロなら $E[X]=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+\cdots +6\times \frac{1}{6}=3.5$ です。また散らばりを表す分散は「期待値からの2乗偏差の期待値」で $V[X]=E[(X-E[X]{)}^2]$ と定義します。 PMFは各値の確率の表。期待値は「確率で重みを付けた平均」。 二項分布：「何回成功するか」の分布 成功確率 $p$ のコインを $n$ 回独立に投げるとき、成功回数 $X$ はどんな分布に従うでしょうか？この状況を表すのが二項分布 $B(n,p)$ です。 $k$ 回成功する確率を考えましょう。「どの $k$ 回が成功か」の組み合わせは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$（コンビネーション、「n 個から k 個を選ぶ方法の数」）通りあります。各パターンで成功が $k$ 回・失敗が $n-k$ 回起こる確率は $p^k(1-p{)}^{n-k}$ です： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算します（$n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 1$）。コイン10回で表3回なら $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)(0.5{)}^3(0.5{)}^7=120\times (0.5{)}^{10}\approx 0.117$ です。 平均は $E[X]=np$、分散は $V[X]=np(1-p)$ となります。「$n$ 回中平均 $np$ 回成功する」という直感通りの結果です。

二項分布 $B(n,p)$：平均 $np$、分散 $np(1-p)$。コンビネーション $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ の計算も確認しておく。 ポアソン分布：「まれに起こる事象の件数」 交通事故の1日の発生件数・コールセンターへの1時間の電話件数は、どちらも「発生確率は低いが多数の機会がある」状況です。このような場合、二項分布で $n$ が非常に大きく $p$ が非常に小さい（でも $\lambda =np$ は適度な値）ときに便利な近似がポアソン分布 $\text{Po}(\lambda )$ です。 $e$（ネイピア数）は自然対数の底で $e\approx 2.718$ の無理数定数です。$k!$（$k$ の階乗）は $k\times (k-1)\times \cdots \times 1$（$0!=1$ と定める）です。たとえば「平均2件/時間の電話」のとき $\lambda =2$ で、3件来る確率は $P(X=3)=2^3{e}^{-2}/3!=8\times 0.135/6\approx 0.18$ です。 ポアソン分布の重要な特徴は 平均 = 分散 = $\lambda$ であることです。観測データの平均と分散が大きく乖離しているときは、ポアソン分布の仮定が成り立っていないサインです。 ポアソン分布：平均 = 分散 = $\lambda$。まれな事象の件数モデルとして、$n$ 大・$p$ 小・$\lambda =np$ 一定のときの二項分布の近似です。 幾何分布：「何回目で初めて成功するか」 くじを引いて当たる確率が $p=0.2$（5枚に1枚当たり）のとき、「初めて当たるまでに引く回数」はどう分布するでしょうか？1回目に当たれば1回、2回目なら（外れ→当たり）の2回、$k$ 回目なら「$(k-1)$ 回外れて $k$ 回目に当たる」です。これが幾何分布です： 平均は $E[X]=1/p$（確率0.2なら平均5回）、分散は $V[X]=(1-p)/p^2$ です。 幾何分布の重要な性質が無記憶性です。「すでに3回外れても、これから初めて当たるまでの回数の分布は最初から引き始める場合と全く同じ」ということです。これは各試行が独立であることの帰結で、「外れが続いているから次は当たりやすい」という誤解（ギャンブラーの誤謬）が成立しないことを示しています。 幾何分布の平均 = $1/p$。無記憶性と「前の失敗は次の確率に影響しない」の関係を理解しておく。 超幾何分布：非復元抽出のモデル 二項分布は「毎回元に戻して引く（復元抽出）」を前提にしていました。では、引いたものを戻さない非復元抽出のときはどうなるでしょうか？ 例えば工場で100個の製品（うち10個が不良品）から5個を検査する場合、1個引いて不良品だとわかれば残り99個中9個が不良品になり、確率が変わります。この状況を表すのが超幾何分布です。 $N$ 個の集合のうち $M$ 個が「当たり」、そこから $n$ 個を非復元抽出したとき、当たりの個数 $K=k$ となる確率は： 「当たり $k$ 個の選び方 × 外れ $n-k$ 個の選び方 ÷ 全部の選び方」という組み合わせの発想です。平均は $E[K]=n\cdot \frac{M}{N}$ で、「$n$ 個取り出したうち、母集合の当たり率 $M/N$ の分だけ当たりが出る」という直感通りです。 超幾何分布は「非復元抽出」のモデル。二項分布（復元）との違いは分散：超幾何分布の分散には有限母集団修正が入り、二項分布の分散より小さくなります。 負の二項分布：「r回成功するまでの試行回数」 幾何分布は「1回成功するまでの試行回数」でした。これを一般化した負の二項分布は「$r$ 回成功するまでに必要な試行回数 $X$」の分布です。幾何分布は $r=1$ の特殊ケースです。 $k$ 回目の試行でちょうど $r$ 回目の成功が起きるとは、「最初の $k-1$ 回に $r-1$ 回成功・$k-r$ 回失敗が起き、$k$ 回目に成功する」ことです： 平均は $E[X]=r/p$（幾何分布の平均 $1/p$ の $r$ 倍）、分散は $V[X]=r(1-p)/p^2$ です。例えばサイコロで6の目（$p=1/6$）が3回出るまでの平均試行数は $3/(1/6)=18$ 回です。 負の二項分布の平均 = $r/p$。幾何分布（$r=1$）の一般化。$r$ 回成功するまでの平均試行数は幾何分布の $r$ 倍です。 よくある誤解・つまずき 二項分布では並びの数 $C(n,k)$ を掛け忘れない。 特定の並びの確率だけでなく、その並びが何通りあるかを掛けます。 ポアソン分布は「一定の時間・空間で起きる稀な件数」の分布。 平均と分散がともに $\lambda$（等しい）のが特徴。 標準偏差は分散の平方根。 分散の値をそのまま標準偏差としない。 ここまでのまとめ 二項分布 $B(n,p)$：$P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p{)}^{n-k}$、$E[X]=np$、$V[X]=np(1-p)$。 ポアソン分布：稀な事象の件数。$E[X]=V[X]=\lambda$。 幾何・負の二項：初めて（$r$ 回）成功するまでの試行回数の分布。