連続型確率分布

このモジュールで学ぶこと 「身長がちょうど170.0000cmの人の確率は？」——連続的な量を扱うとき、特定の一点の確率はゼロです。代わりに「170〜171cmの範囲に入る確率」のように区間で確率を考えます。このモジュールでは、連続型確率変数の「確率 = 面積」という考え方と、最重要の正規分布を学びます。 確率密度関数：「確率 = 面積」 身長データのヒストグラムを想像してください。縦軸を「度数÷区間幅」（密度）にして、区間幅を限りなく細かくしていくと、なめらかな曲線が得られます。この曲線が確率密度関数（PDF: Probability Density Function） です。 の値そのものは確率ではありません——確率は「曲線の下の面積」です。（インテグラル）は「面積を求める操作」を表す記号で、 から までの区間の確率は： 全区間の面積は必ず1（すべての確率の合計）です。また「 が 以下になる確率」を表す関数を累積分布関数（CDF） といい、PDFを積分した値に対応します。 連続分布では「確率 = 面積（積分）」。（1点の確率は常にゼロ）。 正規分布：自然界で最も多く現れる分布 人の身長・テストの得点・測定誤差——これらは「平均付近に最も多く、離れるほど少ない」という釣鐘型の形をします。この形を表す分布が正規分布 （ミュー・シグマ二乗）です。（ミュー）は平均、（シグマの2乗）は分散です。 正規分布の最重要特性は「経験則（68-95-99.7則）」です。身長（平均170cm・標準偏差6cm）で具体的に確認しましょう： 平均 （164〜176cm）：全体の約 68%——だいたいの人はここに収まる 平均 （158〜182cm）：全体の約 95%——ほぼ全員。これより外れると「珍しい」 平均 （152〜188cm）：全体の約 99.7%——この外は0.3%のレアケース と のスライダーを動かすと、分布の位置と広がりがどう変わるか確認できます。 正規分布の確率を計算するときは で標準化して、平均0・標準偏差1の標準正規分布 に変換します。標準正規分布表は （左側の面積）の値を与えます。例えば なので、両側5%の臨界値が となります。 68-95-99.7則（）は丸暗記必須。 標準化の手順：。なお は「95%信頼区間の臨界値」（ より）であり、68-95-99.7則の「」とは別の数値——混同しないこと。 一様分布：「どこでも同じ確率」 「1から10の間の乱数を発生させる」——区間のどこにも等しい確率で値をとる分布が一様分布 です。確率密度は区間の全幅に均等に分配されます： この という値は「全面積 = 幅 × 高さ = 」を確保するためです。平均は区間の中央点 、分散は です。 指数分布：「次のイベントまでの待ち時間」 コールセンターに平均2分に1件の電話がかかってきます——では「次の電話まで3分以上待つ確率」はどう求めるでしょうか？ポアソン分布が「一定時間内の件数」を表すのに対し、指数分布 は「次のイベントまでの待ち時間」を表します： 平均待ち時間は （2分に1件なら平均2分）、分散は です。指数分布も幾何分布と同じ無記憶性を持ちます——「すでに2分待っていても、これからさらに1分以上待つ確率は最初から待つ場合と同じ」という性質です。 指数分布の平均 = 。ポアソン分布（件数）と指数分布（間隔）はセットで理解する。