確率変数の性質

このモジュールで学ぶこと 「テストの点数を全員に10点プラスしたら、平均と分散はどう変わる？」「男女の身長を合計した確率変数の分散は？」確率変数を変換したり足したりするとき、期待値・分散がどう変化するかを知っていれば、複雑な計算を公式一本で処理できます。このモジュールでは確率変数の「操作のルール」を学びます。 期待値と分散の変換規則 あるクラスの数学テスト（平均60点・分散100）の点数を全員に $+10$ 点し、さらに $\times 2$ 倍にすると、平均と分散はどうなるでしょうか？ 定数 $a,b$ を使った変換 $Y=aX+b$ に対して： この例では $Y=2X+10$ なので $E[Y]=2\times 60+10=130$、$V[Y]=2^2\times 100=400$ です。重要なのは「定数の加算（$+b$）は期待値だけを動かし、分散には影響しない」という点です。散らばりは全員同じだけずらしても変わりません。一方、係数倍（$a$ 倍）は期待値を $a$ 倍、分散を $a^2$ 倍にします（標準偏差は $|a|$ 倍）。

$V[aX+b]=a^{2}V[X]$：定数の加減算は分散に影響しない。係数は分散に2乗で効く。 共分散と相関係数：2変数の「関係」を数値化する 前のモジュールまでは単一の確率変数を扱ってきました。では2つの確率変数 $X$（身長）と $Y$（体重）が同時に変動する場合、その「関係の強さ」はどう測るでしょうか？ $X$ が平均より高いとき $Y$ も平均より高くなりやすくなります。この「一緒に動く傾向」を数値にしたものが共分散です： 正の共分散は「同じ方向に動く傾向」、負は「逆方向」、ゼロは「線形の関係なし」を意味します。ただし共分散は単位（cm×kg など）を持つため、-1〜1 に標準化した相関係数で比較するのが一般的です： $\rho$ は $-1\le \rho \le 1$ で、$|\rho |$ が1に近いほど線形の関係が強いことを表します。 共分散の計算式：$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$。期待値の公式から導ける実用的な形です。 確率変数の和の期待値と分散 「男性の身長 $X$ と女性の身長 $Y$ を足した $X+Y$ の期待値・分散は？」このような確率変数の和の統計量も、公式で求められます。 まず期待値について。これは独立性に関わらず常に成り立ちます： 分散については共分散が関係します： $X$ と $Y$ が独立な場合は $\text{Cov}(X,Y)=0$ となり、分散は単純に足し算できます。直感的には「互いに無関係なばらつきを合算すると、それぞれのばらつきが積み上がる」という意味です。差の分散 $V[X-Y]$ は共分散項の符号が逆になり $V[X]+V[Y]-2\text{Cov}(X,Y)$ となります。 独立な確率変数の和の分散：$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$。差 $X-Y$ の分散でも符号に注意して同様に計算。 よくある誤解・つまずき 和（差）の分散を足せるのは「独立」のときだけ。 独立でなければ共分散の項が加わります。 差でも分散は足します。 独立なら $V[X-Y]=V[X]+V[Y]$（引き算ではない）。 定数倍と定数加算の効き方が違う。 $V[aX+b]=a^{2}V[X]$。定数 $b$ は分散に影響しません。 ここまでのまとめ 期待値の線形性：$E[aX+b]=aE[X]+b$。 分散：$V[aX+b]=a^{2}V[X]$（定数加算は分散に効かない）。 独立なら和・差の分散は $V[X]+V[Y]$（共分散0）。