確率変数の性質

このモジュールで学ぶこと 「テストの点数を全員に10点プラスしたら、平均と分散はどう変わる？」「男女の身長を合計した確率変数の分散は？」確率変数を変換したり足したりするとき、期待値・分散がどう変化するかを知っていれば、複雑な計算を公式一本で処理できます。このモジュールでは確率変数の「操作のルール」を学びます。 期待値と分散の変換規則 あるクラスの数学テスト（平均60点・分散100）の点数を全員に 点し、さらに 倍にすると、平均と分散はどうなるでしょうか？ 定数 を使った変換 に対して： この例では なので 、 です。重要なのは「定数の加算（）は期待値だけを動かし、分散には影響しない」という点です。散らばりは全員同じだけずらしても変わりません。一方、係数倍（ 倍）は期待値を 倍、分散を 倍にします（標準偏差は 倍）。 ：定数の加減算は分散に影響しない。係数は分散に2乗で効く。 共分散と相関係数：2変数の「関係」を数値化する 前のモジュールまでは単一の確率変数を扱ってきました。では2つの確率変数 （身長）と （体重）が同時に変動する場合、その「関係の強さ」はどう測るでしょうか？ が平均より高いとき も平均より高くなりやすい——この「一緒に動く傾向」を数値にしたものが共分散です： 正の共分散は「同じ方向に動く傾向」、負は「逆方向」、ゼロは「線形の関係なし」を意味します。ただし共分散は単位（cm×kg など）を持つため、-1〜1 に標準化した相関係数で比較するのが一般的です： は で、 が1に近いほど線形の関係が強いことを表します。 共分散の計算式：。期待値の公式から導ける実用的な形です。 確率変数の和の期待値と分散 「男性の身長 と女性の身長 を足した の期待値・分散は？」このような確率変数の和の統計量も、公式で求められます。 まず期待値について。これは独立性に関わらず常に成り立ちます： 分散については共分散が関係します： と が独立な場合は となり、分散は単純に足し算できます。直感的には「互いに無関係なばらつきを合算すると、それぞれのばらつきが積み上がる」という意味です。差の分散 は共分散項の符号が逆になり となります。 独立な確率変数の和の分散：。差 の分散でも符号に注意して同様に計算。