分散分析と実験計画

このモジュールで学ぶこと 「3種類の肥料A・B・Cを使って育てたトマトの収穫量に差があるか？」t検定は2グループの比較しかできませんでしたが、分散分析（ANOVA: Analysis of Variance）は3グループ以上を同時に比較できます。なぜ「t検定を3回やればいい」ではダメなのか——その理由と、ANOVAの考え方を学びます。 なぜ複数のt検定ではダメなのか 3グループを比較するとき、A-B、B-C、A-Cの3ペアを各々t検定すると、有意水準5%でも「少なくとも1回は誤って棄却する確率」が まで膨らんでしまいます。これを多重検定の問題（第1種の誤りの膨張）といいます。分散分析はこの問題を回避し、「すべての群の平均は等しい 」を一度の検定で行います。 アイデアは「データ全体のばらつきを2つに分解する」ことです： （群間変動, Between-group）：各群の平均が全体平均からどれだけ離れているか → 処置の効果を反映 （群内変動, Within-group）：各群内の観測値のばらつき → 誤差（ランダムな個人差）を反映 「肥料の種類の効果が大きい」なら が に比べて大きくなるはずです。 F検定：群間 vs 群内のばらつきの比 と を自由度で割って平均平方（Mean Square）を計算し、その比をとったのがF統計量です： は群の数、 は全観測数です。帰無仮説（群間差なし）が正しければ となりF値は1に近づきます。群間に本当の差があれば となりF値が大きくなります。F分布の形と自由度の関係をスライダーで確認しましょう。 F統計量の自由度：分子 （群数 - 1）、分母 （全観測数 - 群数）。F検定が有意でも「どの群間に差があるか」は分かりません——その特定にはTukey法などの多重比較が必要です。 二元配置と交互作用 「肥料の種類（A/B/C）」と「水やり回数（1日1回/2回）」の2つの要因を同時に調べたい場合、二元配置分散分析を使います。変動は4つに分解されます： ：要因Aの主効果（肥料の種類の効果） ：要因Bの主効果（水やり回数の効果） ：A×Bの交互作用効果 ：残差（誤差） 交互作用が重要な概念です。例えば「肥料Aは水やり1回では効果なしだが、2回与えると劇的に効果が出る」というように、Aの効果がBの水準によって変わる場合に交互作用が有意になります。交互作用が有意なとき、「Aは効果あり」「Bは効果なし」のような主効果だけの解釈では不十分で、AとBを組み合わせた効果を検討する必要があります。