データの代表値と尺度水準

ヒント：このモジュールで学ぶこと

「クラス30人の試験結果を集めました。何から読み取ればいいでしょうか？」データが手元に揃ったとき、最初にするべきことは「整理して要約する」ことです。平均・中央値・最頻値は、大量のデータを1個の数値に圧縮し、全体の特徴を素早く把握するための道具です。そして、どの代表値が使えるかは「データの種類」によって決まります。

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1. 代表値：平均・中央値・最頻値

会社の年収データを例に考えてみましょう。10人の社員の年収が「300, 320, 340, 350, 360, 380, 390, 400, 420, 2000（万円）」だとします。最後の1人だけ突出して高い、いわゆる外れ値（他の値から極端に離れたデータ点）です。

このデータの代表値を3種類で計算すると：

• 平均（mean）：全員の年収を足して人数で割る。外れ値2000万円に引っ張られ、平均は約426万円になり、実態より大幅に高くなります。
• 中央値（median）：大小順に並べたときの真ん中の値。10人なら5番目と6番目の平均 = (360+380)/2 = 370万円。外れ値の影響をほとんど受けません。
• 最頻値（mode）：最も多く現れる値。このデータでは全員異なるため意味をなしませんが、「血液型の分布」など、同じ値が繰り返し現れるデータで特に有効です。

この年収の例のように「ほとんどの値は低く、ごく一部の高い値が存在する」分布は右裾が長い（右歪みの）分布と呼ばれます。右歪みでは大きな外れ値が平均を右に引っ張るため、「最頻値 $\le$ 中央値 $\le$ 平均」の大小関係が成り立ちます。左右対称の分布（正規分布など）では三者が一致します。

$n$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均は次の式で定義されます。

試験ポイント：外れ値がある場合は中央値、カテゴリデータには最頻値が適切です。「右裾が長い分布」では最頻値 $\le$ 中央値 $\le$ 平均の大小関係になる傾向があります（一般的な目安として、試験ではこの関係が成り立つ前提の問題が出題されます）。

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2. データの種類と尺度水準：「何の統計量が使えるか」を決める

データ分析の最初の問いは「このデータにどんな統計量が使えるか？」です。それを決めるのがデータの尺度水準（level of measurement）です。

まず大きく2種類に分けられます。量的変数（quantitative）は数値で量を表し、四則演算が意味を持ちます（身長、体重、テスト点数など）。質的変数（qualitative / categorical）は数値でなくカテゴリを表し、四則演算は意味を持ちません（血液型、都道府県、性別など）。

量的・質的の中はさらに4段階の尺度水準に分類されます。

「使える代表値」は下ほど上を含みます（比例尺度は全部使える）。間隔尺度は0が「無」を意味しない（摂氏20℃は10℃の「2倍暖かい」ではない）ので比率は無意味。比例尺度は0が絶対的な無で、比率も意味を持ちます。

試験頻出パターン：「満足度5段階評価の平均を計算しました」これは順序尺度なので平均の計算は本来不適切です。試験では「この変数に平均が使えるか」という判断問題が頻出です。間隔尺度・比例尺度なら平均OK、名義・順序尺度なら中央値や最頻値が適切です。

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よくある誤解・つまずき

• 平均はいつも「真ん中」ではありません。 外れ値や歪んだ分布では平均が中心からずれます。年収のように一部に大きな値があるデータは、中央値の方が「ふつうの人」を表します。
• 順序尺度（満足度5段階など）の平均は本来不適切です。 「1と2の差」と「4と5の差」が同じとは限らないため。中央値や最頻値を使います。

ここまでのまとめ

• 代表値：平均（外れ値に弱い）・中央値（外れ値に強い）・最頻値（カテゴリ向き）。右に歪んだ分布では 最頻値 $\le$ 中央値 $\le$ 平均。
• 尺度水準（名義・順序・間隔・比例）で、使える統計量（平均が使えるか等）が決まる。
• 次のモジュール「散らばりの指標と箱ひげ図」では、代表値だけでは分からないデータの広がり方を学びます。