散布図・相関・クロス集計

散布図と相関係数で2変数の量的関係を、クロス集計表で質的変数の関係を分析します。

ヒント：このモジュールで学ぶこと

前のモジュールではヒストグラムや箱ひげ図で「1つの変数の分布」を見ました。では「2つの変数の関係」はどうやって可視化するのでしょうか。「勉強時間が長いほどテストの点は高いのか？」「性別によってコーヒーの好みに違いはあるか？」このような問いに答えるのがこのモジュールで学ぶツールです。

1. 散布図と相関係数：2変数の量的関係を見る

2つの量的変数の関係を視覚化するツールが散布図です。「広告費（X軸）と売上（Y軸）」「勉強時間（X軸）とテスト点数（Y軸）」のように、各データ点を平面上の1点として打ちます。

散布図から読み取れる関係の種類：

正の相関：右上がりの点の群。広告費が多いほど売上も多い。
負の相関：右下がりの点の群。気温が下がるほどコーヒーの販売量が増える。
無相関：点がランダムに散らばる。靴のサイズと英語の成績には関係がない。

共分散：2変数が同じ方向にずれるかを測る

散布図から読み取れる「関係の向き」を数値化する第一歩が共分散（covariance）です。 $x_{i}$ が平均 $\overset{x}{ˉ}$ より大きいとき $y_{i}$ も平均 $\overset{y}{ˉ}$ より大きければ「同じ方向にずれている」。このずれの積を全データで平均したものが共分散 $S_{X Y}$ です。

S_{X Y} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ})

具体例で確かめる： 3人のデータで広告費 $X$ （万円）と売上 $Y$ （万円）を考えます。 $\overset{ˉ}{X} = 5$ 、 $\overset{ˉ}{Y} = 40$ とします。

Aさん：(3, 30) ⇒ ズレ (−2, −10) ⇒ 積 +20
Bさん：(5, 40) ⇒ ズレ ( 0, 0) ⇒ 積 0
Cさん：(7, 50) ⇒ ズレ (+2, +10) ⇒ 積 +20

$S_{X Y} = (20 + 0 + 20) /3 \approx 13.3 > 0$ 。広告費が高い人ほど売上も高い（正の方向に一緒にずれている）ことが数値で確認できます。

$x_{i}$ と $y_{i}$ が同じ方向にずれれば積は正、逆方向なら負になります。ただし共分散には「単位の影響を受ける」という欠点があります。cmとkgの共分散とcmと点数の共分散を比較しても意味がありません。そこで共分散を $x$ ・ $y$ それぞれの標準偏差の積で割り正規化したものが相関係数です。

この関係の強さを−1から1の数値で表したものがピアソン相関係数 $r$ です。

r = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} \sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}} = \frac{S _{X Y}}{S _{X X} S _{Y Y}}

ここで $S_{X X} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ （X の分散）、 $S_{Y Y} = \frac{1}{n} \sum (y_{i} - \overset{y}{ˉ})^{2}$ （Y の分散）です。 $S_{X X} S_{Y Y}$ は X・Y それぞれの標準偏差の積になります。

分子は共分散の中心部分にあたります。 $x$ が平均より大きく $y$ も大きければ積は正、 $x$ が大きく $y$ が小さければ積は負になります。分母でそれぞれの「散らばりの大きさ」（標準偏差の積）を割ることで、単位・スケールに依存しない −1〜1 の無次元量に正規化しています。

$r = 0.9$ なら「強い正の線形関係」、 $r = 0.3$ なら「弱い正の関係」、 $r = - 0.8$ なら「強い負の関係」のように、 $∣ r ∣$ が1に近いほど関係が強いです。散布図で $r = 0.9$ の場合は点が細い右上がりの帯に並び、 $r = 0.3$ の場合は広がりのある右上がりの雲のような形になります。

相関 ≠ 因果：相関係数が高くても「原因と結果の関係がある」とは限りません。「アイスクリームの売上と溺死者数に正の相関がある」なぜでしょう？アイスが原因で溺死するわけではありません。夏の気温が高いとアイスもよく売れ、水遊びも増えて溺死者も増えます。つまり気温という第3の変数が両方に影響しているだけです。このように第3の変数が見かけ上の相関を作り出すことを疑似相関（擬相関）といいます。

2. クロス集計表（分割表）：2変数の質的関係を整理する

散布図と相関係数は「身長と体重」のような量的変数（数値）2つの関係を見るツールでした。クロス集計表（分割表）は、「性別」「血液型」「合否」のような質的変数（カテゴリ変数）2つの関係を整理する表です。

「性別（男・女）とコーヒーの好み（好き・嫌い）」を100人に調査した結果を例に見ます。

男性（計50人）：好き 30人、嫌い 20人
女性（計50人）：好き 40人、嫌い 10人
全体（計100人）：好き 70人、嫌い 30人

クロス集計表を読む際、「%」の計算方法は3種類あります。

行%（行合計に対する割合）： 「男性の中で好きな人は 30/50 = 60%、女性では 40/50 = 80%」グループ内の構成比を比較するのに使う
列%（列合計に対する割合）： 「コーヒーが好きな人の中で男性は 30/70 ≈ 43%、女性は 57%」特定の結果の中での属性比を見るのに使う
全体%（総計に対する割合）： 「全体のうち男性でコーヒーが好きなのは 30/100 = 30%」

試験ポイント：「原因→結果」の方向で比べたいときは行%が基本です。「性別が原因で好みが結果」なら行%を使い「女性は男性より20ポイント多くコーヒーが好き」と読みます。

よくある誤解・つまずき

相関関係は因果関係ではありません。 相関が高くても「原因と結果」とは限らず、第3の要因（交絡）が見かけの相関を作ることがあります（アイスの売上と溺死者数＝気温が共通原因）。
**相関係数 $r$ は「直線的な関係」の強さだけを測ります。** きれいな曲線（U字など）の強い関係でも $r$ は0に近くなることがあります。必ず散布図も見ること。
** $r = 0$ は「無関係」ではなく「直線関係がない」だけです。**
相関係数は外れ値に弱いです。 たった1つの極端な点で $r$ が大きく変わることがあります。

ここまでのまとめ

散布図：2つの量的変数の関係（正・負・無相関）を点で見る。まず形を確認。
**相関係数 $r$ **： $- 1$ 〜 $+ 1$ で直線関係の強さと向きを表す無次元量。 $∣ r ∣$ が1に近いほど強い。
クロス集計表：質的変数2つの関係を整理。行%・列%・全体%を目的で使い分ける（原因→結果は行%）。
相関 ≠ 因果：数値が強くても因果は別。散布図と背景の確認が必須。

確認クイズ（抜粋）

Q1. ピアソン相関係数 r の値域として正しいのはどれか。

A. -1 ≤ r ≤ 1

Q2. 相関係数 r = 0.9 の解釈として最も適切なのはどれか。

A. 2変数の間に強い正の線形関係がある

Q3. 相関係数 r = −0.8 の散布図の形として正しいのはどれか。

A. 右下がりの強い線形分布

全10問のクイズはサイトのインタラクティブ版でお試しください。

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