散らばりの指標と箱ひげ図

ヒント：このモジュールで学ぶこと

前のモジュールでは平均・中央値・最頻値という「代表値」を学びました。しかし代表値だけではわからないことがあります。「毎日25℃の夏」と「15℃と35℃が交互に来る夏」は平均気温が同じ25℃でも、体感はまったく異なります。この「散らばりの大きさ」を数値化する指標と、分布の形を5数で捉える箱ひげ図を学びます。

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1. 分散と標準偏差：「散らばり」を数値化する

散らばりの最もシンプルな指標から始めましょう。最小値はデータの中で最も小さい値、最大値は最も大きい値です。そして 範囲（レンジ） = 最大値 − 最小値 は、データが全体としてどれだけの幅に広がっているかを1つの数値で表します。

例：「10, 25, 30, 45, 90」というデータなら範囲 = 90 − 10 = 80。ただし範囲は外れ値（極端な1点）に大きく左右されます。90が150になるだけで範囲は80から140に変わります。この弱点を補う指標として、次に分散・標準偏差・四分位範囲を学びます。

分散（variance）は「各データが平均からどれだけ離れているか」を1つの数値にまとめた指標です。式だけ見ると難しく感じますが、小さなデータで手を動かすと、なぜこの形なのかが見えてきます。

例として 6, 8, 10, 12, 14（平均は10）で考えます。まず各データと平均の差＝偏差を出します。

偏差をそのまま足すと、正と負が打ち消し合って必ず0になります（表の左下）。これでは散らばりを測れません。そこで偏差を二乗してから平均します。二乗すれば必ず0以上になり、打ち消しが起きません。これが分散です（記述統計では $n$ で割る）。

ただし二乗したぶん単位も二乗（気温なら℃²）になり、元の値と直接くらべられません。そこで平方根をとって元の単位に戻したものが標準偏差（standard deviation）です。

標準偏差は元のデータと同じ単位なので、「平均からおよそ $\pm 2.83$ の範囲に大半が散らばっている」と直感的に読めます。分散（単位の二乗）と標準偏差（元の単位）の違いは試験でよく問われます。

注（分母 $n$ と $n-1$ の違い）：ここで学ぶ分散は「手元にあるデータ全体の散らばり（記述統計）」を表すもので、分母は $n$ です。Chapter 4（推測統計）では、母集団の分散を推定する「不偏分散」（分母が $n-1$）を使います。なぜ $n-1$ なのかはChapter 4で詳しく学びます。今は「記述統計では $n$ で割る」と覚えておいてください。

偏差値は、異なるテスト間・異なる集団間で「相対的な順位」を比較するために生まれた指標です。例えば「A校の模試で80点」と「B校の模試で75点」を直接比べても、どちらのテストが難しかったかわからないので意味がありません。そこで、どちらも「平均50・標準偏差10」の共通の尺度に変換してしまえば、比較が可能になります。これが偏差値の発想です。

平均点の人の偏差値はちょうど50、平均より標準偏差1つ分高い人は60になります。「偏差値60」は「上位約16%」に相当し（正規分布を仮定した場合）、異なるテスト・異なる母集団間でも相対的な位置を比較できます。

試験ポイント：偏差値の計算式と、平均点の人の偏差値が50になる理由（$x=\bar{x}$ なら式の第1項がゼロ）を押さえましょう。

「身長（cm）と体重（kg）ではどちらのばらつきが大きいか？」単純に標準偏差を比べても単位が違うので意味がありません。そこで登場するのが変動係数（CV: Coefficient of Variation）です。

標準偏差を平均で割ることで「平均に対するばらつきの割合」を表します。単位が消えるため、異なる単位・異なる規模のデータ間でばらつきを比較できます。

試験ポイント：「身長（平均170cm・標準偏差5cm）と体重（平均65kg・標準偏差8kg）ではどちらのばらつきが相対的に大きいか」単純に標準偏差だけで比べると体重が大きく見えますが、CV = 5/170 ≈ 2.9% vs 8/65 ≈ 12.3% なので体重の方が相対的なばらつきが大きいと判断できます。

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2. 四分位数と箱ひげ図：分布の「形」を5数で捉える

平均と標準偏差だけでは分布の形状（歪みや外れ値の存在）が見えにくいことがあります。そこで登場するのが四分位数と箱ひげ図です。

データを小さい順に並べて4等分したときの境界値を四分位数といいます。テスト点数「40, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95」（10人分）で考えましょう。

• Q1（第1四分位数）：下位25%の境界 → 約60点
• Q2（第2四分位数）：中央値（下位50%の境界）→ (70+75)/2 = 72.5点
• Q3（第3四分位数）：上位25%の境界 → 約85点

箱ひげ図は「最小値・Q1・Q2・Q3・最大値」の5つの数値（五数要約）を1枚の図で表します。箱の下端がQ1、上端がQ3、箱の中の横線がQ2（中央値）です。箱から上下に伸びる「ひげ」が最小値・最大値（または外れ値を除いた範囲）を示します。

四分位範囲（IQR: Interquartile Range） = Q3 − Q1 は、中央50%のデータがどれだけ広がっているかを表す散らばりの指標で、外れ値の影響をほとんど受けません。

外れ値の判定基準として最も広く使われるのがテューキー（Tukey）のルールです。次の範囲を超える値を外れ値とみなします。

先ほどの例（Q1=60, Q3=85, IQR=25）で計算すると、下限 = 60 − 1.5×25 = 22.5点、上限 = 85 + 1.5×25 = 122.5点となります。この範囲の外にある値を外れ値と判断し、箱ひげ図では「ひげ」の端を外れ値を除いた最小値・最大値に合わせ、外れ値は別に点（○）で表示します。

試験ポイント：「1.5×IQR」という係数は試験で直接問われます。$Q_1-1.5\times \text{IQR}$ より小さい値、または $Q_3+1.5\times \text{IQR}$ より大きい値が外れ値です。

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よくある誤解・つまずき

• **記述統計の分散は $n$ で割ります。** $n-1$ で割る「不偏分散」は母集団を推定する推測統計（Chapter 4）の話です。ここで混同しないこと。
• 分散と標準偏差は単位が違います。 分散は単位の二乗（℃²など）、標準偏差は元と同じ単位（℃）。「平均 $\pm$ 標準偏差」で考えるのはこのためです。
• IQR は外れ値の影響を受けにくい指標です。 範囲（最大値−最小値）は1点の外れ値で大きく変わりますが、IQR は中央50%だけを見るため安定しています。

ここまでのまとめ

• 散らばり：範囲・分散・標準偏差・変動係数(CV)・四分位範囲(IQR)。
• 偏差値 $=\frac{x-\bar{x}}{s}\times 10+50$。平均点の人は必ず50。
• 変動係数 $\text{CV}=s/\bar{x}$。単位の異なる2つのデータ間でばらつきの大きさを比較するときに使う。
• 外れ値の目安：$Q_1-1.5\times \text{IQR}$ より小、または $Q_3+1.5\times \text{IQR}$ より大。