離散型確率分布

このモジュールで学ぶこと 前のChapterでは「確率とは何か」「条件付き確率と独立性」を学びました。確率とは「事象に割り当てた数値」でしたが、ここからは一歩進んで「試行の結果に数値を割り当てた変数」——確率変数を扱います。 「コインを2回投げたとき、表は何回出るか？」——0回かもしれないし、1回かもしれないし、2回かもしれません。このように「試行前には決まっていないが、起こりうる値とその確率がわかる変数」を確率変数といいます。このモジュールでは確率変数の基本概念（PMF・期待値・分散）を学び、「成功か失敗かの試行を 回繰り返したとき、成功回数の分布はどうなるか」——二項分布——を理解します。 確率変数と確率質量関数（PMF） コインを2回投げる試行を考えます。表の回数 は 0, 1, 2 のいずれかです。このように「試行の結果によって値が決まる変数」を確率変数（random variable）といいます。 特に が 0, 1, 2 のような整数値（とびとびの値）しかとらない確率変数を離散型確率変数といいます。サイコロの目・コインを投げたときの表の回数・不良品の個数などが典型例です。 なお、身長や体重のように小数点以下の値も連続してとれる変数は「連続型確率変数」と呼び、次のモジュールで扱います。 各値が起こる確率を表にまとめると次のようになります。 表が 0回：確率 1/4 表が 1回：確率 1/2 表が 2回：確率 1/4 なぜ なのか？表・裏（HT）と裏・表（TH）の2通りがあり、全体の組み合わせ（HH・HT・TH・TT）は4通りなので です。 この表が確率変数の「全貌」を表しています——どんな値が出るか（0, 1, 2）とそれぞれの確率が揃えば、確率変数の振る舞いが完全に決まります。この「各値 → 確率」の対応関係に名前をつけたものが確率質量関数（PMF: Probability Mass Function）です。PMFが満たすべき条件は「すべての確率を足すと1になること」（起こりうるすべての場合を足せば必ず1になる）： ✓。 試験ポイント： PMFの条件は「すべての確率の合計 = 1」。問題で確率の表が与えられたとき、まずこの条件を確認しましょう。 期待値と分散 期待値：長い目で見たときの平均 「くじを引くと1等（1000円）が10%、2等（100円）が30%、はずれ（0円）が60%」という場面を想像してください。このくじを何度も引いたとき、1回あたり平均でいくら当たるでしょうか？ 1000回引いた場合：1等が100回（合計10万円）、2等が300回（合計3万円）、はずれが600回（0円）——平均 = 13万円 ÷ 1000回 = 130円。 これを確率を使って一発で計算するのが期待値（expected value） です： 一般式：（各値に確率を掛けて全部足す）。 コイン2回の例（上の表を使う）：。「コインを2回投げれば、平均で1回表が出る」という直感と一致します。 分散：期待値からのズレの大きさ 期待値が「平均的にどの値になるか（分布の重心）」を表すなら、分散（variance） は「その重心からどれくらいばらつくか」を表します。「各値と期待値の差の二乗」を確率で重みをつけて平均したものです。 なぜ差を二乗するのか——プラスとマイナスのズレがそのまま足し合わさると打ち消し合ってしまうためです（「データの整理と要約」で学んだ標準偏差と同じ理由）。 コイン2回の例（）： 標準偏差は分散の平方根：。これは「コインを2回投げたとき、表の回数は平均1回から典型的に約0.71回程度ずれる」という意味です。 試験ポイント： 期待値 = 「値 × 確率」の和。分散 = 「（値 − 期待値）² × 確率」の和。計算の順序を間違えないよう注意しましょう。 二項分布の確率計算 「コイン3回投げて、表がちょうど2回出る確率は？」——この問いに答えるのが二項分布です。3ステップで積み上げて考えましょう。 Step 1：1通りの並びの確率 「表・表・裏（HHT）」という特定の並びの確率を求めます。コイン投げは毎回独立（前の結果が次に影響しない）なので、掛け算で求めます： 一般に、表の確率を 、裏の確率を とすると、「表が 回・裏が 回の特定の並び」の確率は です。 Step 2：並び方の数を数える 「表が2回」になる並びは HHT・HTH・THH の 3通り。この「 回のうち 回が表になる組み合わせの数」を で表します。 3回中2回表：HHT・HTH・THH（ 通り） 4回中2回表：HHTT・HTHT・HTTH・THHT・THTH・TTHH（ 通り） 5