推定

点推定・区間推定の考え方と信頼区間の構築を学びます。

ヒント：このモジュールで学ぶこと

Chapter 1 で学んだ標本平均 $\overset{ˉ}{X}$ と不偏分散 $s^{2}$ を思い出しましょう。推定理論はこれらの統計量を出発点に、「標本から母集団を推測する」方法を確率的に厳密化したものです。

「スプーン1杯の味見で鍋全体の塩加減を当てる」これが推定の本質です。鍋全体（母集団）を全部飲み干さなくても、1杯（標本）を味見するだけで全体の味を推測できます。

推定には2つのアプローチがあります。点推定（「全国の高校男子の平均身長は168cmと推定する」のように1つの数値で答える）と区間推定（「166〜170cmの範囲にある」のように幅で答える）です。点推定は簡潔ですが「どれくらい信頼できるか」が伝わりません。区間推定は「推定の不確かさ」も同時に伝えられます。同じデータでも $n = 30$ より $n = 300$ の方が幅が狭く、より精確な推定ができます。

統計的推定とは、標本から得られた情報を使って、観測できない母集団の特性（母平均 $μ$ や母分散 $σ^{2}$ ）を推測することです。点推定・区間推定・信頼区間という3つの概念を、具体的な場面とともに理解しましょう。

1. 点推定：1つの数値で母数を推測する

クラス30人の身長を測り、標本平均 $\overset{ˉ}{X} = 168$ cmを計算しました。これを「全国の高校男子の平均身長（母平均 $μ$ ）の推定値は168cm」と報告するのが点推定です。1つの数値で母数を推測します。

母平均 $μ$ の推定量として最もよく使われるのが標本平均 $\overset{ˉ}{X}$ です。母分散 $σ^{2}$ の推定には不偏分散 $s^{2}$ を使います。

s^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}

なぜ分母が $n - 1$ なのでしょうか。自由度の概念で考えるとわかりやすいです。具体例で見てみましょう。3人のデータ $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ の平均 $\overset{ˉ}{X} = 5$ がわかったとします。このとき偏差の合計はゼロ、つまり $(X_{1} - 5) + (X_{2} - 5) + (X_{3} - 5) = 0$ が必ず成り立ちます。 $X_{1} - 5 = 2$ 、 $X_{2} - 5 = - 1$ とわかれば、3番目の偏差は $X_{3} - 5 = - 1$ と自動的に決まります。3個のうち自由に動けるのは2個（ $= n - 1$ ）だけです。この「自由に動ける数」を自由度といいます。 $n$ で割ると母分散を過小推定するため、 $n - 1$ で割ることで偏りを補正します（ $E [s^{2}] = σ^{2}$ ）。このような「期待値が真の母数に等しい推定量」を不偏推定量（unbiased estimator）といいます。

2. 中心極限定理と標準誤差：「標本平均はどれくらいばらつくか」

クラス30人を1つの標本として平均を計算したとします。次に別の30人で同じことをすると、少し異なる平均が出ます。さらに繰り返すと、毎回少しずつ異なる値が得られます。この「標本平均のばらつき」を理論的に捉えるのが中心極限定理と標準誤差です。

この「標本平均がとりうる値の分布」を標本分布（sampling distribution）といいます。標本分布を理論的に求めるのが中心極限定理です。

中心極限定理（CLT: Central Limit Theorem）：母集団の分布の形を問わず、標本サイズ $n$ が十分大きければ、標本平均 $\overset{ˉ}{X}$ の分布は正規分布に近づきます。

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})

標本平均の標準偏差 $σ / n$ を標準誤差（SE: Standard Error）といいます。SEは「標本平均のブレの大きさ」すなわち推定の精度を表す指標です。SEが小さいほど標本平均は毎回ほぼ同じ値を示し（安定した推定）、SEが大きいほど標本平均は毎回大きくばらつきます（不安定な推定）。 $n$ が大きいほど SE は小さく（推定が精確に）なります。 $n$ を4倍にすると SE は半分になります（ $σ / 4 n = σ / (2 n)$ ）。

具体例：全国高校生の身長の標準偏差 $σ = 6$ cm、標本サイズ $n = 36$ のとき $SE = 6/ 36 = 1$ cm。36人の標本平均は、真の母平均から $\pm 1$ cm程度の範囲に68%の確率で収まるということです。

3. 信頼区間とt分布：「幅を持たせた推定」

点推定の弱点は「1つの数値だけで不確実性が伝わらない」ことです。「平均168cm」と報告しても、それが「167〜169cmの精確な推定」なのか「150〜186cmの粗い推定」なのかがわかりません。そこで、1点ではなく「範囲」で母平均を推測する信頼区間（confidence interval）を使います。

母分散 $σ^{2}$ が既知のとき、母平均の95%信頼区間は：

\overset{ˉ}{X} \pm 1.96 \frac{σ}{n}

「この手続きで作った区間は、長期的に見て95%の割合で母平均を含む」という意味です。具体的にイメージすると、同じ調査を100回繰り返してそれぞれ区間を作ると、そのうち約95個の区間が真の母平均を「捕捉」する、ということです。今手元にある1つの区間について「母平均を含む確率95%」と言うことはできません（母平均は固定した値で、確率的に変わるのは区間の方です）。この違いは試験の頻出引っかけなので注意しましょう。

言葉だけでは掴みにくいので、実際に20回とってみます。

しかし実際には母分散 $σ^{2}$ は未知です。 $σ$ の代わりに標本標準偏差 $s$ を使うと、追加の不確実性が生じます。これを反映するために正規分布より裾が厚いt分布（自由度 $n - 1$ ）を使います。

**なぜ $σ$ → $s$ の置き換えで裾が厚くなるのか？** 正規分布を使った区間推定は「 $σ$ が既知で確定している」という前提で成立します。ところが $s$ は標本ごとにばらつく推定値です。大きめの $s$ が出た標本では幅が広すぎ、小さめの $s$ が出た標本では幅が狭すぎ、という不確実性が加わります。t分布はこの「推定誤差を二重に抱えた状態」を正確に反映した分布で、その結果として正規分布より裾が厚くなります。自由度 $n - 1$ は「 $n$ 個のデータから $s$ を計算した後に自由に動けるデータ点の数」を意味します。 $n$ が大きくなるほど $s$ は $σ$ に近づき、t分布は正規分布に収束します。

\overset{ˉ}{X} \pm t_{n - 1} (0.025) \frac{s}{n}

試験ポイント：「母分散既知 → 正規分布（ $z_{0.025} = 1.96$ ）」「母分散未知 → t分布（自由度 $n - 1$ ）」。サンプルサイズ $n$ を4倍にすると信頼区間の幅は半分になります。

4. 標本調査の基礎：「なぜ全員調べないのか」

信頼区間や検定の理論は「標本からデータを集める」ことを前提にしています。では、なぜ母集団全体を調べる全数調査ではなく、標本調査を使うのでしょうか。

全数調査（census）はすべての対象を調べる方法で、正確な結果が得られます。しかし現実にはコスト・時間・物理的制約から不可能な場合がほとんどです。例：「日本国民全員の健康状態を毎月測定する」「工場で製造した製品を破壊検査でテストする（全数調査すれば全製品が壊れる）」。

標本調査（sample survey）は母集団の一部を選んで調べる方法です。正確度は下がりますが、現実的な時間・コストで情報が得られます。

標本調査の信頼性を左右するのが無作為抽出（random sampling）です。母集団からランダムに標本を選ぶことで、特定のグループに偏らない代表的な標本が得られます。

単純無作為抽出：全員に番号を振り、乱数表などで無作為に選ぶ。最もシンプルな方法。
層化抽出：母集団をいくつかの層（年齢層・地域など）に分け、各層から無作為に抽出。層ごとの特性を保ちたい場合に有効。
系統抽出：名簿から一定間隔（例：10人おきに1人）で抽出。実務で使いやすい。

サンプリングバイアス（偏り）：無作為でない抽出は、母集団を代表しない標本につながります。例：「スマートフォンユーザーへのオンラインアンケート」は高齢者や低所得者を過少代表しがちです。調査結果を読む際は、誰がどのように抽出されたかを確認しましょう。

試験ポイント：「標本の特性値（標本平均など）は統計量、母集団の特性値（母平均など）は母数（パラメータ）」という用語の区別は頻出です。

よくある誤解・つまずき

「95%信頼区間」は「真の母平均がこの区間に95%の確率で入る」という意味ではありません。 正しくは「同じ方法で何度も区間を作れば、そのうち約95%が真の値を含む」という、手続きの性質です。出来上がった1本の区間に対して確率を語るのは誤りです（試験頻出）。
点推定だけでは「どれくらい信頼できるか」が伝わりません。 だから幅を持つ区間推定が必要です。
**母分散が既知なら正規分布（ $z$ ）、未知なら t分布（自由度 $n - 1$ ）** を使います。取り違えに注意。
統計量（標本から計算）と母数（母集団の真の値）を混同しない。 推定するのは母数、計算できるのは統計量。

ここまでのまとめ

点推定（1つの値）と区間推定（幅＋信頼度）。区間は不確かさも伝える。
不偏分散 $s^{2}$ は $n - 1$ で割る（自由度 $n - 1$ ）。
信頼区間：母分散既知→ $z$ （95%なら1.96）、未知→t分布。 $\overset{ˉ}{X} \pm (z または t) \cdot \frac{s}{n}$ 。
信頼区間の正しい解釈は「手続きを繰り返したときの性質」。 $n$ を4倍で幅は半分。

確認クイズ（抜粋）

Q1. 不偏推定量の説明として正しいのはどれか。

A. 繰り返し推定したときの期待値が真の母数に等しい推定量

Q2. 母分散 σ² の不偏推定量として正しいのはどれか。

A. (1/(n−1)) Σ(Xᵢ − X̄)²（不偏分散）

Q3. 標準誤差（SE）の計算式として正しいのはどれか（σ: 母標準偏差、n: サンプルサイズ）。

A. σ / √n

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