推定

このモジュールで学ぶこと Chapter 1 で学んだ標本平均 と不偏分散 を思い出しましょう。推定理論はこれらの統計量を出発点に、「標本から母集団を推測する」方法を確率的に厳密化したものです。 「スプーン1杯の味見で鍋全体の塩加減を当てる」——これが推定の本質です。鍋全体（母集団）を全部飲み干さなくても、1杯（標本）を味見するだけで全体の味を推測できます。 推定には2つのアプローチがあります。点推定（「全国の高校男子の平均身長は168cmと推定する」のように1つの数値で答える）と区間推定（「166〜170cmの範囲にある」のように幅で答える）です。点推定は簡潔ですが「どれくらい信頼できるか」が伝わりません。区間推定は「推定の不確かさ」も同時に伝えられます——同じデータでもよりの方が幅が狭く、より精確な推定ができます。 統計的推定とは、標本から得られた情報を使って、観測できない母集団の特性（母平均 や母分散 ）を推測することです。点推定・区間推定・信頼区間という3つの概念を、具体的な場面とともに理解しましょう。 点推定：1つの数値で母数を推測する クラス30人の身長を測り、標本平均 cmを計算しました。これを「全国の高校男子の平均身長（母平均 ）の推定値は168cm」と報告するのが点推定です。1つの数値で母数を推測します。 母平均 の推定量として最もよく使われるのが標本平均 です。母分散 の推定には不偏分散 を使います。 なぜ分母が なのでしょうか。自由度の概念で考えるとわかりやすいです。具体例で見てみましょう——3人のデータ の平均 がわかったとします。このとき偏差の合計はゼロ、つまり が必ず成り立ちます。、 とわかれば、3番目の偏差は と自動的に決まります——3個のうち自由に動けるのは2個（）だけです。この「自由に動ける数」を自由度といいます。 で割ると母分散を過小推定するため、 で割ることで偏りを補正します（）。このような「期待値が真の母数に等しい推定量」を不偏推定量（unbiased estimator）といいます。 中心極限定理と標準誤差：「標本平均はどれくらいばらつくか」 クラス30人を1つの標本として平均を計算したとします。次に別の30人で同じことをすると、少し異なる平均が出ます。さらに繰り返すと、毎回少しずつ異なる値が得られます。この「標本平均のばらつき」を理論的に捉えるのが中心極限定理と標準誤差です。 この「標本平均がとりうる値の分布」を標本分布（sampling distribution）といいます。標本分布を理論的に求めるのが中心極限定理です。 中心極限定理（CLT: Central Limit Theorem）：母集団の分布の形を問わず、標本サイズ が十分大きければ、標本平均 の分布は正規分布に近づきます。 標本平均の標準偏差 を標準誤差（SE: Standard Error）といいます。SEは「標本平均のブレの大きさ」すなわち推定の精度を表す指標です——SEが小さいほど標本平均は毎回ほぼ同じ値を示し（安定した推定）、SEが大きいほど標本平均は毎回大きくばらつきます（不安定な推定）。 が大きいほど SE は小さく（推定が精確に）なります。 を4倍にすると SE は半分になります（）。 具体例：全国高校生の身長の標準偏差 cm、標本サイズ のとき cm。36人の標本平均は、真の母平均から cm程度の範囲に68%の確率で収まるということです。 信頼区間とt分布：「幅を持たせた推定」 点推定の弱点は「1つの数値だけで不確実性が伝わらない」ことです。「平均168cm」と報告しても、それが「167〜169cmの精確な推定」なのか「150〜186cmの粗い推定」なのかがわかりません。そこで、1点ではなく「範囲」で母平均を推測する信頼区間（confidence interval）を使います。 母分散 が既知のとき、母平均の95%信頼区間は： 「この手続きで作った区間は、長期的に見て95%の割合で母平均を含む」という意味です。具体的にイメージすると——同じ調査を100回繰り返してそれぞれ区間を作ると、そのうち約95個の区間が真の母平均を「捕捉」する、ということです。今手元にある1つの区間について「母平均を含む確率95%」と言うことはできません（母平均は固定した値で、確率的に変わるのは区間の方です）。この違いは試験の頻出引っかけなので注意しましょう。 しかし実際には母分散 は未知です。 の代わりに標本標準偏差 を使うと、追加の不確実性が生じます。これを反映するために正規分布より裾が厚いt分布（自由度 ）を使います。 なぜ → の置き