母比率の推定・検定

ヒント：このモジュールで学ぶこと

「推定」・「仮説検定」モジュールでは「連続型の量的データ（身長・血圧・点数など）の平均」を推定・検定してきました。今回はデータの種類が変わります。

「この薬の治癒率は本当に50%より高いか？」「内閣支持率は前回から変わったか？」結果が「治癒した・しない」「賛成・反対」のような2値データでは、「平均」ではなく**母比率 $p$**（母集団における成功の割合）が関心の母数です。基本的な考え方（標本から信頼区間を作り、仮説検定を行う）は母平均の場合と同じですが、使う分布と計算式が変わります。

---

1. 母比率の点推定と区間推定

$n$ 個の独立な試行で成功が $X$ 回だったとします。標本比率 $\hat{p}=X/n$ は母比率 $p$ の不偏推定量です。

$X\sim B(n,p)$（二項分布）なので $E[\hat{p}]=p$、$V[\hat{p}]=p(1-p)/n$ です。中心極限定理より $n$ が大きいとき：

標準誤差 $SE=\sqrt{p(1-p)/n}$ ですが $p$ は未知なので $\hat{p}$ で代入します。母比率の近似 $1-\alpha$ 信頼区間は：

例：$n=200$、$X=80$（治癒40%）の95%信頼区間。

$SE\propto 1/\sqrt{n}$ なので、信頼区間の幅を半分にするには $n$ を4倍にする必要があります（$\sqrt{4n}$ で SE が半分になるため）。

---

2. 母比率の仮説検定（z検定）

「治癒率が50%より高い（$p>0.5$）か」を検定したいとき、帰無仮説 $H_0:p=p_0$ を立てます。

$H_0$ が正しいとすると $\hat{p}$ は近似的に $N(p_0,p_0(1-p_0)/n)$ に従うので、検定統計量は：

信頼区間と検定で SE の計算が変わる理由： 信頼区間は「$p$ が何かわからないから推定する」ので、$p$ の代わりに手元の $\hat{p}$ を使います。検定は「$H_0:p=p_0$ が正しいと仮定した世界での分布」を作るので、仮定した値 $p_0$ を使います。同じ標本データを使っていても、目的が違うから SE の計算式が変わります。

例：$n=200$, $\hat{p}=0.55$, $H_0:p_0=0.50$ の片側検定。

有意水準5%の片側棄却域 $z>1.645$ に入らないので $H_0$ を棄却できない。

試験ポイント：母比率の検定では $SE$ に $p_0$（帰無仮説の値）を使い、信頼区間では $\hat{p}$（標本比率）を使う。この使い分けを問う問題が頻出です。

---

よくある誤解・つまずき

• **標準誤差 $SE$ の使い分けに注意。** 信頼区間は手元の $\hat{p}$、検定は仮定値 $p_0$ を使います（目的が違うため）。
• 比率の推定・検定は正規近似（中心極限定理）が前提です。 $n$ が小さい、または $p$ が0や1に極端に近いと近似が崩れます。
• **区間の幅を半分にするには $n$ を4倍にする必要があります**（$SE\propto 1/\sqrt{n}$）。
• **標本比率 $\hat{p}$ は割合（0〜1）です。** 個数 $X$ と取り違えないこと（$\hat{p}=X/n$）。

ここまでのまとめ

• 標本比率 $\hat{p}=X/n$ は母比率 $p$ の不偏推定量。
• 大標本では $\hat{p}\approx N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$（正規近似）。
• 信頼区間：$\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。
• 検定統計量：$z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$。SE は区間＝$\hat{p}$、検定＝$p_0$。