正準相関分析と共分散構造分析

このモジュールで学ぶこと

「理系科目の成績と文系科目の成績は、全体としてどれくらい関連しているか？」「学力という見えない概念を、複数のテスト得点で測るモデルを作りたい」このモジュールでは、2組の変数の関連を測る正準相関分析と、直接測れない概念（潜在変数）を含む関係をモデル化する共分散構造分析を学びます。読み終えると、次の3つができるようになります。

1. 2組の変数の相関から正準相関係数を求め、正準変数の意味を読める
2. 共分散構造分析の測定モデル・構造モデル・パス図・適合度指標を説明できる
3. 目的とデータの型から、多変量解析の手法を選べる

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1. 正準相関分析

「数学・理科の成績（変数セット$X$）と国語・英語の成績（変数セット$Y$）は全体としてどれだけ関連しているか？」これを答えるのが正準相関分析（Canonical Correlation Analysis）です。

2組の変数セット $\mathbf{X}$（$p$ 変数）と $\mathbf{Y}$（$q$ 変数）に対して、正準変数の組 $(U_k,V_k)$ を：

$U_k$ と $V_k$ の相関（正準相関係数 ${\rho }_k^{\ast }$）が最大になるように ${\mathbf{a}}_k,{\mathbf{b}}_k$ を選びます。

$\min (p,q)$ 組の正準対が存在し、各組は前の組と無相関になります。これはPCAの2変数版への拡張と見ることができます。

数値例：数学・理科（$X_1,X_2$）と国語・英語（$Y_1,Y_2$）の得点を標準化し、相関が次のとおりだったとします（架空の値です）。

$X$ と $Y$ の間の相関は、どの1組を取っても最大 $0.4$ です。ところが、各組の合計点どうし（$U_1\propto X_1+X_2$、$V_1\propto Y_1+Y_2$）を取ると、相関は ${\rho }_1^{\ast }=\frac{0.4+0.3}{\sqrt{(1+0.6)(1+0.5)}}\approx 0.45$ に上がります。理系の総合力と文系の総合力のあいだの関連を、個々の科目よりよく捉えているわけです。第2の組は、差の得点（$U_2\propto X_1-X_2$、$V_2\propto Y_1-Y_2$）で、${\rho }_2^{\ast }=\frac{0.4-0.3}{\sqrt{(1-0.6)(1-0.5)}}\approx 0.22$ です。意味は「数学寄りか理科寄りか」と「国語寄りか英語寄りか」の対応で、第1の組と無相関になります。$\min (p,q)=2$ なので、組はここまでです。

よくある誤解：「正準相関分析は重回帰分析の多変量版で、$X$ から $Y$ を予測する手法」と思いがちですが、誤りです。正準相関分析は $X$ と $Y$ について対称な手法で、「$X$ から $Y$ を予測する」のではなく「$X$ と $Y$ の間でもっとも相関が高い線形結合のペア $(U_k,V_k)$ を探す」分析です。$X$ と $Y$ を入れ替えても同じ正準相関係数 ${\rho }_k^{\ast }$ が得られます。一方、重回帰では「説明変数 → 目的変数」の方向が固定されているため、変数の役割を入れ替えると結果が変わります。

次は、直接測れない概念を含む関係をモデル化する手法を見ます。

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2. 共分散構造分析（SEM）

「学力（潜在変数）は語彙力・読解力・計算力（観測変数）で測られる」このような「観測できない概念（潜在変数）」を含む因果関係をモデル化するのが共分散構造分析（SEM: Structural Equation Modeling）です。

SEMは2つのサブモデルからなります：

• 測定モデル（因子分析部分）：潜在変数と観測変数の関係
• 構造モデル（パス解析部分）：潜在変数間の因果関係

パス図（Path Diagram）：変数を四角（観測変数）や楕円（潜在変数）、矢印（因果・共分散）で表した図。

パス係数：矢印の重みで「原因変数が1標準偏差変化したとき、結果変数が何標準偏差変化するか」を表します。

モデルの適合度は ${\chi }^2$ 検定・CFI（比較適合指標）・RMSEA（二乗平均平方根近似誤差）などで評価します。

つまずきやすい点：SEMでは「因果」は理論から来ます。矢印の向きはデータから決まるのではなく、研究者の理論的仮説を反映します。

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3. 3手法の使い分け（正準相関・対応分析・SEM）

正準相関分析・共分散構造分析と、多次元尺度法と対応分析で扱った対応分析の3つは「2 つ以上の変数群の関係を捉える」という共通点がありますが、扱うデータ型と目的が異なります。

• 正準相関分析（CCA）：2 セットの量的変数群の関連を、相関が最大になる線形結合のペアとして抽出します。例：学力テスト群（数学・国語・英語）と性格特性群（外向性・誠実性）の関係を全体として把握したい場面。
• 対応分析：質的変数（カテゴリ）の関連を低次元プロットで可視化します。例：年代×購買カテゴリのクロス表から「20 代は化粧品、50 代は健康食品」といった対応関係を散布図で示したい場面。
• 共分散構造分析（SEM）：潜在変数を含む構造モデル全体の適合度を検証します。例：「ストレス → 不眠 → 疲労」という因果モデルがデータに整合するかを確かめたい場面。

押さえどころ：3手法の比較表

判断の目安：データが量的か質的かでまず CCA・SEM と対応分析を分け、量的の場合「単に関連の強さを見たい」なら CCA、「因果構造を検証したい」なら SEM と進むと迷いません。

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4. 多変量解析の選択フロー

多変量解析の手法は数が多く、目的に応じた選択が重要です。「何を知りたいか」から逆算するフローで覚えると整理しやすくなります。

ステップ 1：目的を分類する

• 関連の構造を見たい
• 探索的に構造を探す → 因子分析・主成分分析（PCA）・正準相関分析（CCA）
• 確認的に仮説モデルを検証 → 共分散構造分析（SEM）
• グループ化したい
• グループラベルがない（教師なし）→ クラスター分析
• グループラベルがある（教師あり）→ 判別分析・ロジスティック回帰
• カテゴリ変数の関連を見たい
• 低次元で可視化 → 対応分析（数量化 III 類）
• 独立性の検定 → 分割表分析（カイ二乗検定）

ステップ 2：データ型を確認する

判断の目安：「目的（要約・分類・予測・検証）」と「データ型（量的・質的）」の 2 軸を最初に決めれば、手法は自動的に絞り込めます。「○○を分析したいとき、どの手法を使うか」で迷わないよう、このフローで手法を絞り込む練習をしておくと整理できます。