フロントドア基準・直接効果と間接効果・操作変数

このモジュールで学ぶこと

統計的因果推論：DAG とバックドア基準では、交絡を測れれば、それで層別して因果効果が求まることを見ました。では、交絡を測れないときはどうするか。このモジュールでは、その場合に使う2つの方法と、効果を通り道ごとに分ける考え方を学びます。読み終えると、次の3つができるようになります。

1. フロントドア基準の3条件を確かめ、媒介変数を使って効果を2段階で求める考え方を言える
2. 線形モデルで、総合効果を直接効果と間接効果に分けられる
3. 操作変数の3条件を言え、差の比で効果を推定できる

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1. フロントドア基準：交絡を測れないとき

交絡 $U$ が観測できないと、バックドア基準は使えません。それでも、$X$ から $Y$ への影響がすべて媒介変数 $M$ を通ると仮定でき、$M$ が観測できるなら、別の道があります。

次の3条件を満たす $M$ を使うのがフロントドア基準です。

1. $X$ から $Y$ へのすべての有向経路が $M$ を通る
2. $X$ から $M$ へのバックドア経路がない
3. $M$ から $Y$ へのバックドア経路は、すべて $X$ で閉じられる

このとき、効果を2段階に分けて求めます。$g(m)$ は「$M=m$ のときの $Y$ への効果」を $X$ で調整して求めた値です。

1段目 $P(m\mid x)$ は「$X$ が $M$ をどう変えるか」で、$U$ の影響を受けません（$X\to M$ に交絡がないため）。2段目は「$M$ が $Y$ をどう変えるか」を、$X$ で調整して求めます（$M\leftarrow X\leftarrow U\to Y$ という裏道を $X$ で閉じる）。この2つを掛け合わせて足し上げるわけです。

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2. 直接効果と間接効果

$X$ が $Y$ に与える効果には、$M$ を経由しない直接効果と、$M$ を経由する間接効果があります。

線形で、交互作用がなく、未観測の交絡もない場合に限って、係数で足し算ができます。$X\to M$ の係数を $a$、$M\to Y$ を $b$、$X\to Y$ の直接の係数を $c$ とおくと：

たとえば $a=0.5,b=0.8,c=0.3$ なら、間接効果は $0.5\times 0.8=0.4$、総合効果は $0.3+0.4=0.7$ です。

$M$ を調整するかどうかで、求まる効果が変わる点に注意が要ります。$X$ の総合効果を知りたいときは $M$ を調整してはいけません（間接の通り道を塞ぐため）。$M$ を回帰モデルに入れると求まるのは直接効果です。一般の（非線形な）モデルでは、直接効果・間接効果をそれぞれ「$M$ を固定した効果」「$M$ だけを変えた効果」として潜在結果で定義し直す必要があります。

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3. 操作変数：交絡を測れず、媒介変数も無いとき

学習アプリの利用時間 $X$ が、試験の点数 $Y$ をどれだけ上げるかを知りたいとします。やる気 $U$ のある人ほど長く使い、点数も高いので、利用時間と点数を単純に比べると効果を大きく見積もります。$U$ は測れず、フロントドア基準に使える媒介変数もありません。

そこで、利用時間を動かすけれど、点数には利用時間を通してしか影響しない変数 $Z$ を探します。たとえば、アプリの割引クーポンを、くじで選んだ半数の人に配ったとします。

次の3条件を満たす $Z$ を操作変数と呼びます。

1. $Z$ は $X$ を動かす（クーポンをもらうと利用時間が増える）
2. $Z$ は $U$ と無関係（くじで配ったので、やる気と関係しない）
3. $Z$ から $Y$ への経路は、$X$ を通るものだけ（クーポン自体は点数を変えない）

クーポンをもらった群ともらわない群を比べます（説明のための模擬の数字）。

クーポンは利用時間を4時間増やし、点数を2.0点上げました。点数の差は利用時間の差を通してしか生じないので、1時間あたりの効果は差の比で求まります。

一般には共分散の比 ${\hat{\beta }}_{IV}=\mathrm{Cov}(Z,Y)/\mathrm{Cov}(Z,X)$ で、$Z$ が2値のときは上の差の比と一致します。同じデータで点数を利用時間に単純に回帰すると、傾きは1時間あたり1.5点になります。やる気の影響が混ざり、効果を3倍に見積もっていたことになります。

• 条件2と3はデータから確かめられず、「クーポンは点数を直接変えない」は場面の知識で主張するしかない
• $Z$ が $X$ をほとんど動かさない弱い操作変数では、分母が0に近くなり、推定値が大きくぶれる
• 効果が人によって違うときに求まるのは、クーポンで利用時間が変わった人たちにとっての効果。クーポンがあっても使い方を変えない人の効果は含まれない
• 変数が多いときは2段階最小二乗法を使う。1段目で $Z$ から $X$ を予測し、2段目でその予測値に $Y$ を回帰する方法で、$Z$ が1つなら上の比と同じ推定値になる

押さえどころ：まず「調整してよいのは交絡（分岐）の中間変数。媒介は塞ぎ、合流点は開くので調整してはいけない」という開閉の区別が大前提です。そのうえで、バックドア基準は「交絡を測れるときの調整公式 ${\sum }_{z}P(y\mid x,z)P(z)$」、フロントドア基準は「交絡を測れないが媒介 $M$ が測れるときの2段階の式」と使い分けます。