確率の公理と包除原理

このモジュールで学ぶこと 「サイコロで偶数か3の倍数が出る確率は？」——この問いを正確に解くには、確率の数学的な定義（公理）と、複数の事象を組み合わせるルールが必要です。このモジュールでは確率論の土台となるコルモゴロフの公理と包除原理を、具体例とともに習得します。条件付き確率・独立については次のモジュールで扱います。 確率を「日常の不確かさ」から数字にする 「たぶん雨が降る」「めったにない」「ほぼ確実」——日常の不確かさを 0〜1 の数字で表したのが確率です。 確率 0：絶対に起きない（サイコロで7が出る） 確率 0.5：半々（コインを1回投げて表が出る） 確率 1：必ず起きる（サイコロで1〜6のいずれかが出る） 「0〜1の数字で不確かさを表す」というアイデアはわかりました。次は、この数字が守らなければならないルール（公理）を学びます。 確率の基本：コルモゴロフの公理 「確率」を数学として扱うには、曖昧な直感ではなく厳密な定義が必要です。 サイコロを1回振る実験を考えます。出うる全結果の集合を標本空間（Sample Space） と呼びます。「偶数が出る」という部分集合 を事象（Event）と呼び、その確率は です。複数の事象の「または」は和事象 、「かつ」は積事象 と表します。 確率には3つのルール（コルモゴロフの公理）があります： 公理1：すべての事象 に対して （確率は必ず 0 以上） 公理2：全事象の確率は 1、すなわち 公理3：互いに排反な（同時に起きない）事象 , に対して たった3つの公理から、確率論の全体が導けます。例えば空事象（絶対に起きない事象） の確率は、 と は排反なので公理3より 、かつ だから が導けます。また が起きない事象を補事象（余事象） と呼び、公理1・2から が導かれます。 試験頻出：「 が起きない」という補事象 は最頻出の公式の1つです。直接計算が難しいときは補事象を使うのが定石です。 包除原理：「ダブルカウント」の修正 1つの事象の確率を学びました。次は「2つの事象のどちらか（または両方）が起きる」確率の計算です。 あるクラス40人のうち、数学が得意な人が20人、英語が得意な人が15人、両方が得意な人が5人います。「数学か英語か、少なくとも一方が得意な人」は何人でしょうか？ 単純に 人と計算すると、両方が得意な5人を二重に数えてしまいます。正しくは 人です。この「足して引く」考え方が包除原理（Inclusion-Exclusion Principle）です。 ここで （「 または 」）を和事象、（「 かつ 」）を積事象と呼びます。2つが重ならない（排反）なら となり、公理3に戻ります。 3事象への拡張 3つの事象では「2つ重なる部分を引き過ぎた分」をまた足す必要があります： ド・モルガンの法則は補事象を組み合わせた変換です。「 か のどちらも起きない」とは「 が起きない、かつ が起きない」と同じ意味——この言い換えを式にすると： 使いどころ：「少なくとも1つ起きる確率」の余事象として という形で使うことが多いです。