確率の公理と包除原理

このモジュールで学ぶこと

「サイコロで偶数か3の倍数が出る確率は？」この問いを正確に解くには、確率の数学的な定義（公理）と、複数の事象を組み合わせるルールが必要です。このモジュールでは確率論の土台となるコルモゴロフの公理と包除原理を、具体例とともに習得します。条件付き確率・独立については次のモジュールで扱います。

確率を「日常の不確かさ」から数字にする

「たぶん雨が降る」「めったにない」「ほぼ確実」日常の不確かさを 0〜1 の数字で表したのが確率です。

• 確率 0：絶対に起きない（サイコロで7が出る）
• 確率 0.5：半々（コインを1回投げて表が出る）
• 確率 1：必ず起きる（サイコロで1〜6のいずれかが出る）

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「0〜1の数字で不確かさを表す」というアイデアはわかりました。次は、この数字が守らなければならないルール（公理）を学びます。

1. 確率の基本：コルモゴロフの公理

「確率」を数学として扱うには、曖昧な直感ではなく厳密な定義が必要です。

サイコロを1回振る実験を考えます。出うる全結果の集合を標本空間（Sample Space）$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ と呼びます。「偶数が出る」という部分集合 $A=\{2,4,6\}$ を事象（Event）と呼び、その確率は $P(A)=3/6=0.5$ です。複数の事象の「または」は和事象 $A\cup B$、「かつ」は積事象 $A\cap B$ と表します。

確率には3つのルール（コルモゴロフの公理）があります：

公理1：すべての事象 $A$ に対して $P(A)\ge 0$（確率は必ず 0 以上）

公理2：全事象の確率は 1、すなわち $P(\Omega )=1$

公理3：互いに排反な（同時に起きない）事象 $A$, $B$ に対して $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

たった3つの公理から、確率論の全体が導けます。例えば空事象（絶対に起きない事象）$\varnothing$ の確率は、$A$ と $\varnothing$ は排反なので公理3より $P(A\cup \varnothing )=P(A)+P(\varnothing )$、かつ $A\cup \varnothing =A$ だから $P(\varnothing )=0$ が導けます。また $A$ が起きない事象を補事象（余事象） $A^c$ と呼び、公理1・2から $P(A^c)=1-P(A)$ が導かれます。

試験頻出：「$A$ が起きない」という補事象 $P(A^c)=1-P(A)$ は最頻出の公式の1つです。直接計算が難しいときは補事象を使うのが定石です。

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2. 包除原理：「ダブルカウント」の修正

1つの事象の確率を学びました。次は「2つの事象のどちらか（または両方）が起きる」確率の計算です。

あるクラス40人のうち、数学が得意な人が20人、英語が得意な人が15人、両方が得意な人が5人います。「数学か英語か、少なくとも一方が得意な人」は何人でしょうか？

単純に $20+15=35$ 人と計算すると、両方が得意な5人を二重に数えてしまいます。正しくは $20+15-5=30$ 人です。この「足して引く」考え方が包除原理（Inclusion-Exclusion Principle）です。

ここで $A\cup B$（「$A$ または $B$」）を和事象、$A\cap B$（「$A$ かつ $B$」）を積事象と呼びます。2つが重ならない（排反）なら $P(A\cap B)=0$ となり、公理3に戻ります。

📖 3事象への拡張

3つの事象では「2つ重なる部分を引き過ぎた分」をまた足す必要があります：

ド・モルガンの法則は補事象を組み合わせた変換です。「$A$ か $B$ のどちらも起きない」とは「$A$ が起きない、かつ $B$ が起きない」と同じ意味です。この言い換えを式にすると：

使いどころ：「少なくとも1つ起きる確率」の余事象として $P(A\cup B)=1-P(A^c\cap B^c)$ という形で使うことが多いです。