全確率の定理とベイズの定理

このモジュールで学ぶこと 「病気の検査で陽性と出ました。では、あなたが本当に病気である確率はどのくらいでしょうか？」——直感では「陽性＝ほぼ病気」と思いがちですが、実際は検査の精度と病気の希少さによって大きく変わります。この問いに答えるために、原因を複数に分けて確率を計算する「全確率の定理」と、結果から原因を逆算する「ベイズの定理」を学びます。 「複数の原因」を考えるための準備 前のモジュールで条件付き確率と独立を学びました。次のステップは「複数の原因があるとき、それぞれの寄与を足し合わせて全体の確率を求める」方法です。これが全確率の定理の発想です。 乗法定理と全確率の定理 条件付き確率の定義を変形すると、積事象を「段階的に計算できる」乗法定理が得られます： 例：袋に赤玉3個・白玉2個。1個取り出して戻さずにもう1個取る。2個とも赤の確率は？ 次に、互いに排反で全事象を分割する事象の組 （これを完全系と呼びます）を使うと、任意の事象 の確率を次のように表せます——これが全確率の定理（Total Probability Theorem）です： 例：工場Aが製品全体の60%、工場Bが40%を生産。不良品率はそれぞれ2%・5%。無作為に選んだ1個が不良品である確率は？ 全確率の定理は、各原因 からの寄与（）を足し合わせる構造です。次のベイズの定理の分母の計算に必ず登場します。 ベイズの定理：「結果から原因を推測する」 全確率の定理で「全体の確率」が計算できました。次は逆方向——「結果を観測したとき、各原因がどのくらい疑わしいか」を問います。これが統計的推測の核心です。 冒頭の問いに戻りましょう。3つの数値を整理します： 有病率 1%：検査を受ける人1000人のうち、実際に病気なのは10人 感度 95%：病気の10人中 9.5人（≈9人）が「陽性」と正しく検出される 特異度 90%：健康な990人中 891人が「陰性」と正しく判定される → 残り 99人が誤って「陽性」（偽陽性） つまり「陽性と出た人」は約 人いるのに、本当に病気なのは9人だけ——直感より大幅に低い値になりそうです。ベイズの定理で正確に計算します： 分母を全確率の定理で展開します（健康な人が陽性になる確率 ）： よって： 陽性でも約9%しか病気でない——有病率（検査前に病気である確率）が低いと、感度が高くても「陽性だったときに病気である確率」は大きく上がりません。 ベイズの定理の一般形： ：事前確率（Prior Probability）——観察前にわかっている確率 ：尤度（Likelihood）——原因 のもとで結果 が起きる確率 ：事後確率（Posterior Probability）——結果 を観測した後に更新された確率 分母 はすべての に共通の定数です。そのため事後確率の大小関係は分子 だけで決まります。これを利用して「（比例する）」という簡略表記が使われます： 実際の確率値が必要なときは分母で割って正規化します——この意味で分母を正規化定数（normalizing constant）と呼びます。分母で割ることで「すべての にわたる事後確率の合計が1」になることが保証されます。 試験頻出：「事前確率 × 尤度 に比例して事後確率が決まる」、「分母は正規化定数」、「 は分母が定数なので省略できる」という3点はベイズ統計の土台として頻出です。