条件付き確率と統計的独立

このモジュールで学ぶこと 「天気予報は降水確率30%」——でも朝から空が曇っていたら、あなたの感じる雨の確率は30%より高くなるはずです。このように「ある情報が得られたとき、確率がどう変わるか」を数学にしたのが条件付き確率です。また、コインを何度投げても前の結果が次に影響しないように「情報が確率を変えない」状態を統計的独立と呼びます。この2つは全確率の定理・ベイズの定理の直接の土台です。 条件付き確率：「前提が変わると確率も変わる」 あるクラスで男子20人・女子20人が試験を受けました。合格者は30人で、うち女子は20人でした。無作為に選んだ1人が「合格者だった」とわかったとき、その人が女子である確率は？ 全体で見ると女子は50%ですが、「合格者の中での女子の割合」は です。「合格者」という情報が確率を変えました。これが条件付き確率（Conditional Probability）です。 は「 が起きたという条件のもとで が起きる確率」と読みます。縦棒「」は「〜が与えられたとき（given that）」を意味します。 この定義を変形すると乗法定理が得られます： 「 と が同時に起きる確率」＝「 が起きる確率」×「 のもとで が起きる確率」という直感的な分解です。 試験頻出： であれば、 と は「関係がある（独立でない）」ことを意味します。次の独立の定義と一緒に押さえましょう。 統計的独立：「知っても確率が変わらない」 条件付き確率の定義から自然に「情報が何の役にも立たない」状態を定義できます。 コインを2回投げます。1回目の結果は2回目の確率に何も影響しません。1回目が表（事象 ）でも裏でも、2回目が表（事象 ）になる確率は常に です。これを統計的独立（Statistical Independence）と呼びます。 条件付き確率の式に代入すると ——「 を知っても の確率が変わらない」ことと同値です。 「排反」と「独立」の混同に注意 排反（Mutually Exclusive）： が起きれば は絶対起きない（） - 例：サイコロで「1が出る（）」と「2が出る（）」——同じ1回の試行で同時に両方は出ない 独立（Independent）： が起きても の確率は変わらない（） - 例：コインを2回投げて「1回目が表（）」と「2回目が表（）」——1回目の結果は2回目に無関係 かつ のとき、排反と独立は同時に成立しません。排反なら ですが、独立なら となり矛盾します。