大数の法則と中心極限定理

このモジュールで学ぶこと 「1クラス30人の身長を測るだけで、全国平均が推測できる」——なぜそんなことが可能なのでしょうか？前のモジュールで正規分布の形を学びました。次は「なぜ手元の標本から母集団全体について語れるのか」の数学的な根拠——大数の法則と中心極限定理——を学びます。 大数の法則（LLN）：サンプルが増えると平均は真値へ一点収束する まず「どのくらいサンプルを増やせば安心か」という直感を養いましょう。 サイコロの例で確認： 1〜6の目が等確率で出るサイコロの、真の期待値は です。 6回振ると → 平均が 2.3 や 4.7 になることもある（ばらつき大） 100回振ると → 平均はだいたい 3〜4 の間に収まる 1万回振ると → 平均は必ず 3.5 にほぼ一致 これが 大数の法則（Law of Large Numbers, LLN） です。数式では： 「」は「確率収束する」という記号で、「 を大きくすると、 が から離れる確率が0に近づく」という意味です。値そのものが真値 の1点に近づいていくイメージです。 試験頻出： の表記と意味（「 が増えると が から離れる確率が0になる」）は必ず押さえましょう。 弱法則と強法則：大数の法則には2種類あります。弱法則（WLLN）は確率収束（）、強法則（SLLN）はより強い「概収束」（）です。概収束は「ほぼ確実にすべての標本列が に収束する」ことを意味し、弱法則より強い保証です。準1級では両者の違いを問われることがあります。 中心極限定理（CLT）：平均の「分布の形」まで正規分布になる 大数の法則は「値が真値に近づく」ことを示しました。ではさらに「どのくらい近いか（バラツキの形）」まで言えるのが中心極限定理です。 コイン投げの例で確認： コインを100回投げて「表の枚数」を数える実験を、1000回繰り返したとします。コイン投げは本来「表か裏か」という単純な0-1の分布ですが——1000回の実験で得た「表の枚数の分布」をヒストグラムにすると、平均50・標準偏差5の正規分布の形になります。 これが 中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT） です。元のデータの分布がどんな形でも、その平均値をたくさん集めると、正規分布に近づきます： 「」は「分布収束する」という記号です（大数の法則の「（値が一点に近づく）」とは別物です）。CLTは「値」ではなく、 の分布の形全体が正規分布の形へと近づくことを言っています。 数式を変形すると標準化した形にもなります：。 なぜ最強の定理なのか？ CLTが成立するための条件は「平均と分散が有限に存在すること」だけです。元の分布（年収・クレーム件数など）が不明でも、データさえ多ければ正規分布の道具で強気に分析できます。 二項分布の正規近似： は が十分大きければ で近似できます（ド・モアブル=ラプラスの定理）。コイン100回の例では となります。 スライダーを動かしてみよう： ：指数分布（右に強く歪んだ形）——元の分布がそのまま見える 前後：ここからようやく「鐘の形」らしくなってくる 以上：正規分布にほぼ一致。これが CLT の「 が十分大きければ」の目安 が増えるにつれ青い実線（実際の分布）が灰色の点線（）に収束していきます——これが中心極限定理の「収束」の意味です。 （補足）スルスキーの定理 大数の法則とCLTをそれぞれ別々に証明しても、実際の問題ではこの2つを組み合わせて使うことが多いです。そのときに使う補題がスルスキーの定理です。 「①CLTで正規分布に近づく部分」と「②LLNで真値に近づく部分」を掛け合わせた統計量の収束先は、それぞれの収束先を掛けたものになります。 具体例：t検定統計量 母分散（真のばらつき ）が不明なとき、検定では標本標準偏差 を使った統計量を使います： CLTより： は に近づく LLNより：（つまり ） スルスキーの定理は「これら2つを掛け算しても収束先は変わらない」と保証します。よって は に近づきます。 よい推定量の条件：「どの計算式で推測するのがベストか？」 大数の法則により「サンプルを増やせば真値に近づく」ことはわかりました。では、同じデータから推定するとき、どの計算式（推定量）を使うのがベストなのか？ その品質基準を4つ学びます。 ダーツ（矢投げ）で例えましょう。的の中心が「真の値 」、矢1本1本が「推定値 （シータハット）」です。 不偏性（Unbiasedness）：何度も投げたとき、矢の重心（平均の着地点）が的の中心に来ている——式で表すと 。標本平均はこれを満たします。 一致性（Consistency）：投げる回数（データ数 ）を増やすほど、矢が中心に集まっていく。大数の法則と直接対応します：（）。 有効性（Efficiency）：同じ「偏りのない（不偏な）」射手2人を比べたとき、より中心近くにまとまって刺さる方が有効。散らばり（分散）が最小の推定量を最小分散不偏推定量（MVUE）と呼びます。 十分性（Sufficiency）：データを1つの統計量に圧縮しても、 に関する情報が一切失われない性質。例えば正規分布の母平均を推定するとき、標本平均 だけ知れば個々のデータを全部見るのと同じ情報量があります——これが十分統計量の意味です。 試験頻出：不偏性（）と一致性（）は定義を混同しないように。不偏性は「有限サンプルでの偏り」、一致性は「サンプルが増えたときの収束」についての性質です。