標本分布の相互関係 ($t, \chi^2, F$)

このモジュールで学ぶこと 「10人の血圧データだけで新薬の効果を証明できるか？」——この問いに答えるには、正規分布だけでは不十分です。なぜなら、真のばらつき（母分散）が分からないからです。このモジュールでは、その制約のもとで正確な推測を可能にする3つの分布 ・・ の意味と使い所を学びます。 「代用品を使う不確かさ」を正直に反映した分布 理想の統計では「真のばらつき （母分散）が既知」という前提で正規分布を使います。しかし現実に母分散が分かっていることはまずありません。 仕方なく「手元のデータから計算した （標本分散）」で代用するしかないのですが——これは「精密な計量カップの代わりに目分量で塩を入れる」ようなものです。代用品を使う分の余分な不確かさを、形に正直に反映したのが、これから学ぶ3つの分布です。 なお （標本分散）とその平方根 （標本標準偏差）は の関係にあります。以降ではどちらの記号も場面に応じて使います。 分布：母分散が不明なときの推測 新薬を10人に投与したら血圧が平均 5 mmHg 下がった。「これは本物の効果か、偶然か？」を調べたいが、全人類の血圧の真のばらつき（母分散 ）は不明です。そこで10人のデータから計算した標本標準偏差 で代用した統計量 を使います： 各記号の意味：（エックスバー）は手元データの平均値、（ミュー）は検証したい基準値（例：「薬の効果がゼロ」なら ）、 は手元データの標準偏差（ばらつきの大きさ）、 はサンプルサイズ（人数）です。 正規分布より裾が厚い形：分散を推定値で代用している分、外れる可能性を広めに見ている——統計学の慎重さの表れです 分散 （ のとき）：正規分布の分散1より大きく、自由度が増えるほど1に近づきます 自由度（）：10人なら 、1000人なら 。大きいほど正確になる 自由度とは？： 個のデータから平均を計算すると「合計が固定される」という制約が生まれます。例えば3人のテスト点数の平均が70点なら、最初の2人が60点・80点と分かった時点で3人目は自動的に70点と決まります。つまり自由に動けるのは 個——これが自由度 の意味です。 自由度のスライダーを動かしてみましょう。小さいほど裾が厚く、増やすほど標準正規分布 に近づいていきます。 自由度が大きくなるほど裾が薄くなり正規分布へ収束します——サンプルが少ないほど不確実性が大きいことが、グラフの形に正直に表れています。 特殊なケース：自由度 の 分布はコーシー分布と呼ばれ、期待値（平均）すら定義できない「暴れ馬のような分布」になります。 t分布は「母平均の推測」に使いました。では次に、「分散（ばらつき）そのもの」を分析したい場面はどうするのでしょう？ (カイ二乗) 分布：ばらつきの正体 工場でボルトを大量生産しているとします。製造した1000本の直径のばらつきが「規格 mm 以内」に収まっているかを検査したい——これは「分散そのものを判定する」問題です。 まず用語を確認しておきます。標準正規変数とは、平均0・分散1の正規分布 に従う変数のことです。 個の独立な標準正規変数 の二乗和は 自由度 のカイ二乗分布 に従います： 標本分散 との関係は（「」は「この分布に従う」という意味）： 0以上の値しかとらない（二乗の和なので当然） 期待値 （自由度）、分散 ：自由度が大きいほど右に広がる 自由度が増えると分布が右にシフトし左右対称に近づきます。自由度 の期待値が であることが、ピーク位置から確認できます。 試験頻出：自由度 が十分大きければ は正規分布 で近似できます（CLTによる—— 個の独立な 変数の和だから）。 カイ二乗分布は「1つのグループのばらつき」を扱いました。では「2つのグループのばらつきを比較」するにはどうするのでしょう？ 分布：2つのばらつきを比較する クラスAとクラスBのテスト結果があります。「点数のばらつきに統計的な差があるか？」——「Aの分散」と「Bの分散」の比が従う分布が 分布です： 「本当は分散が等しい（）」なら、この比は 1 に近くなるはずです。1から大きく外れるほど「差がある」証拠になります。 分子・分母それぞれの自由度を動かすと F分布の形がどう変化するか確認できます。両自由度が大きいほど分布が安定した形に収束していきます。 分布間のつながり（試験頻出） 3つの分布は「標準正規分布から生まれた親戚」です： ：t分布を二乗すればF分布になる ：分子と分母を入れ替えるだけ 非心分布：「帰無仮説が偽のとき」の分布 まず用語を確認します。帰無仮説（）とは「差がない・効果がない」という前提の仮説です（詳しくは「推定・検定の理論的背景」で学びます）。棄却域は「この値より外れたら仮説を否定する」という領域、検出力（）は「本物の差があるとき、正しく検出できる確率」です（ は「本当に差があるのに見逃す確率」）。 ・・ 分布は「帰無仮説が真のとき（真の値が仮定通り）」の検定統計量の分布です。では帰無仮説が偽のとき、統計量はどんな分布に従うのでしょうか？これが非心分布（Non-central Distribution）で、検出力の計算に使います。 非心 分布：帰無仮説 が偽で真の値が のとき、 は非心度（non-centrality parameter） を持つ非心 分布に従います。 が大きいほど（真の効果が大きく・サンプルが多いほど）分布の中心が右にシフトし、棄却域に入りやすくなります——これが検出力が上がることの数学的な意味です。 非心 分布： 個の独立正規変数の非ゼロ平均 の2乗和 は非心度 を持つ非心 分布に従います。 非心 分布：分子に非心 分布が入るF分布です。分散分析の検出力計算で使います。 試験頻出：非心分布は「帰無仮説が偽のときの分布」——サンプルサイズ設計（必要な の計算）と検出力の計算に直接使います。