実験計画法：反復・無作為化・ブロック計画

このモジュールで学ぶこと

分散分析で見たとおり、$F$ は群間の平均平方を誤差の平均平方で割った値です。同じ差でも、誤差が小さいほど $F$ は大きくなり、差を見つけやすくなります。誤差を小さくするのは、分析の工夫より、データを集める前の計画です。読み終えると、次の3つができるようになります。

1. フィッシャーの3原則（反復・無作為化・局所管理）が、それぞれ何のためにあるかを言える
2. ブロックを使う実験計画が、なぜ同じ回数の実験で差を見つけやすくするかを数値で説明できる
3. 因子が多いとき、一部実施要因計画や直交配列で実験の回数を減らす考え方を言える

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1. 実験計画の3原則

その土台が、フィッシャーが示した実験計画の3原則です。

📖 フィッシャーの3原則

• 反復（replication）：同じ条件で複数回測定します。反復があるから、群内のばらつき（誤差の大きさ）を見積もれます。1回ずつしか測っていないと、差が処理の効果か誤差かを区別できません。
• 無作為化（randomization）：処理をどの実験単位に割り当てるかを、くじ引きのように偶然で決めます。割り当てを人が選ぶと、無意識に条件のよい畑へ新しい肥料を回すなど、系統的な偏りが入ります。無作為化は、測っていない要因も平均的に各群へ均等に散らします。
• 局所管理（local control）：実験の場を、似た条件のまとまり（ブロック）に分け、ブロックの中で処理を比べます。ブロック間の違いを誤差から取り除けるので、同じ反復数でも検出力が上がります。

反復は誤差の大きさを見積もり、無作為化は偏りを取り除き、局所管理は誤差そのものを小さくします。

つまずきやすい点：「反復」と「繰り返し測定」は別物です。反復は独立な実験単位を増やすことで、同じ個体を何度も測るだけでは、誤差の見積もりは正しくなりません。

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2. ブロック計画：畑の違いを誤差から取り除く

3種類の肥料 A・B・C の収量（kg）を比べます。使える畑は4枚で、畑によって土の良さがかなり違います。そこで各畑を3区画に分け、畑ごとに3つの肥料をくじで区画に割り当てました。似た条件のまとまり（ここでは畑）をブロックと呼び、1つのブロックに全部の処理を1つずつ無作為に置く計画を乱塊法と呼びます（説明のための模擬の数字）。

畑の平均は 22.0・27.3・30.0・33.3 で、肥料の差（最大4kg）よりずっと大きく違います。同じ12個のデータを2通りに分析すると、結論が変わります。

• 平方和は、肥料 32.7・畑 206.3・誤差 4.7 で、合わせて 243.7
• 一元配置では、畑の違い 206.3 が誤差に混ざる。誤差の平均平方は (206.3＋4.7) ÷ 9 = 23.4 で、肥料の平均平方 32.7 ÷ 2 = 16.3 はこれに埋もれる
• ブロックにすると畑の分を取り除ける。誤差の平均平方は 4.7 ÷ 6 = 0.78 になり、$F$ = 16.3 ÷ 0.78 = 21.0
• 誤差の自由度は 9 から 6 に減る（畑の分に3つ使う）。それでも誤差が大きく減れば、差は見つけやすくなる

ブロック計画には、ブロックの大きさで2つの型があります。

• 完備型：1つのブロックに全部の処理が入る。上の乱塊法がこれ
• 不完備型：1つのブロックに全部の処理は入らず、たとえば1日に2種類しか試食できないとき、3種類 A・B・C を {A, B}・{A, C}・{B, C} の3日に分ける。どの2つの処理も同じ回数ずつ同じブロックに入るように組んだものを、釣合い型不完備ブロック計画と呼ぶ

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3. 因子が多いとき：一部実施要因計画と直交配列

2水準の因子が $k$ 個あると、全部の組み合わせは $2^k$ 通りで、$k=10$ なら1024回の実験になります。一部実施要因計画は、高次の交互作用（3つ以上の因子の組み合わせの効果）は小さいと考えて調べるのをやめ、実験を $2^{k-p}$ 回に減らす計画です。

直交配列は、どの2つの因子を取り出しても、水準の組み合わせが同じ回数ずつ現れるように作った実験の表です。$L_8$ は8回の実験で2水準の因子を最大7個まで割り付けられる表で、$L_n$ の $n$ は実験の回数を表します。品質工学（タグチメソッド）でよく使われます。