検定の理論：ネイマン・ピアソンと大標本検定

このモジュールで学ぶこと 前のモジュール 1.18 で P値・過誤・検出力を学びました。ここでは「なぜその棄却域が最良なのか」という理論的根拠——ネイマン・ピアソンの基本定理——と、大標本で使う3種類の検定（尤度比・ワルド・スコア）を学びます。漸近的な分布論（ウィルクスの定理など）は 1.22 漸近理論で扱います。 検定の「設計問題」 仮説検定は「帰無仮説 を棄却するかどうか」の意思決定です。棄却域をどう決めれば第1種の過誤（）を抑えながら検出力（）を最大化できるか——これが検定の設計問題です。 よくある誤解：「P 値 = 帰無仮説が正しい確率」「 なら が誤りである確率は95%以上」と読むのは誤りです。正しくは「 が真であると仮定したときに、今回と同等以上に極端なデータが得られる条件付き確率」です。頻度論の枠組みでは 自体は確率変数でなく真か偽かの命題であり、「 が真である確率」という量は定義されません（その表現はベイズ的解釈に相当します）。 ネイマン・ピアソンの基本定理 「有意水準 を固定したとき、最も検出力が高い検定はどれか？」——この問いに答えるのがネイマン・ピアソンの基本定理（Neyman-Pearson Lemma）です。 単純仮説とはパラメータを1点に固定した仮説（例：）、複合仮説とは範囲で指定した仮説（例：）です。 単純仮説 対 の検定で、棄却域を次のように設定します： なぜ「差」でなく「比」なのか 尤度比 は、各データ点ごとに「 のもとでの確率」と「 のもとでの確率」の掛け算で蓄積されます（独立データなら積）： これに対し差 は複数データの情報を統合できません（足し算では各データ点の証拠の強さが希釈される）。比なら をとれば となり、各観測の証拠が加算的に積み上がります——これがネイマン・ピアソンが比を選ぶ理論的理由です。 具体例：正規分布の NP 検定 で vs を考えます。 個の独立観測 の尤度比は： という棄却条件を で書き直すと： つまり「標本平均が閾値 を超える」という直感的な棄却域になります。 は水準 から を満たす値、例えば 、 なら 。尤度比という抽象的な条件が、実用的な統計量（標本平均）の閾値検定と等価になるのが NP 定理の威力です。 試験頻出：「一様最強力検定（UMP test）」とは、片側仮説に対して水準 を守りつつすべての対立仮説で検出力が最大になる検定です。両側検定では一般にUMPは存在しません。 複合仮説の大標本検定：3つのアプローチ 複合仮説（）に対する大標本検定には3種類あります。 尤度比検定（Likelihood Ratio Test, LRT）：制約あり・なしの最尤推定量の尤度の比： は制約の数（自由度）。 倍の対数をとるのは、この変換によってウィルクスの定理が「漸近的にちょうど 分布になる」と保証できる係数だからです。 ワルド型検定（Wald Test）：MLE がどのくらい から離れているかで判断： スコア検定（Score Test / Lagrange Multiplier Test）：「 が真なら でスコア関数（対数尤度の微分）はゼロになるはず」という性質を使います。 3つの検定の使い分け表 漸近的同値性 大標本（）ではこの3つはすべて漸近的に同じ 分布に従い、検出力も同等になります。これを「3つの漸近的同値性」と呼びます。詳細はモジュール 1.22 のウィルクスの定理で扱います。 試験頻出：小標本では3つの性質が異なります。一般に LRT が最も信頼され、計算コストを抑えたい場面ではスコア検定、信頼区間との対応を見たい場面ではワルド検定が選ばれます。 関連モジュールへの導線 1.18 P値・検定の誤り・検出力：第1種の過誤 ・検出力 など本モジュールの前提を扱います。 1.22 漸近理論：ウィルクスの定理（ の証明）、フィッシャー情報量との関係を扱います。 1.20 検定の実践：本モジュールで学んだ理論を、適合度検定・ノンパラメトリック検定などに応用します。 ネイマン・ピアソンの歴史的意義 NP定理（1933年）は「検定の最良性を客観的に評価する」枠組みを与えました。それ以前は検定の選択が経験的でしたが、NP定理以降は「水準 と対立仮説を与えれば最強力検定が一意に決まる」と数学的に保証されるようになりました。これが現代統計学における頻度論的推測（Frequentist inference）の理論的支柱です。