検定の理論：ネイマン・ピアソンと大標本検定

このモジュールで学ぶこと

前のモジュール 1.18 で P値・過誤・検出力を学びました。ここでは「なぜその棄却域が最良なのか」という理論的根拠（ネイマン・ピアソンの基本定理）と、大標本で使う3種類の検定（尤度比・ワルド・スコア）を学びます。漸近的な分布論（ウィルクスの定理など）は 1.22 漸近理論で扱います。

検定の「設計問題」

仮説検定は「帰無仮説 $H_0$ を棄却するかどうか」の意思決定です。棄却域をどう決めれば第1種の過誤（$\alpha$）を抑えながら検出力（$1-\beta$）を最大化できるか。それが検定の設計問題です。

よくある誤解：「P 値 = 帰無仮説が正しい確率」「$p<0.05$ なら $H_0$ が誤りである確率は95%以上」と読むのは誤りです。正しくは「**$H_0$ が真であると仮定したときに、今回と同等以上に極端なデータが得られる条件付き確率**」です。頻度論の枠組みでは $H_0$ 自体は確率変数でなく真か偽かの命題であり、「$H_0$ が真である確率」という量は定義されません（その表現はベイズ的解釈に相当します）。

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1. ネイマン・ピアソンの基本定理

「有意水準 $\alpha$ を固定したとき、最も検出力が高い検定はどれか？」この問いに答えるのがネイマン・ピアソンの基本定理（Neyman-Pearson Lemma）です。

単純仮説とはパラメータを1点に固定した仮説（例：$H_0:\theta ={\theta }_0$）、複合仮説とは範囲で指定した仮説（例：$H_0:\theta \le {\theta }_0$）です。

単純仮説 $H_0:\theta ={\theta }_0$ 対 $H_1:\theta ={\theta }_1$ の検定で、棄却域を次のように設定します：

なぜ「差」でなく「比」なのか

尤度比 $L({\theta }_1)/L({\theta }_0)$ は、各データ点ごとに「${\theta }_1$ のもとでの確率」と「${\theta }_0$ のもとでの確率」の掛け算で蓄積されます（独立データなら積）：

これに対し差 $L({\theta }_1)-L({\theta }_0)$ は複数データの情報を統合できません（足し算では各データ点の証拠の強さが希釈される）。比なら $\log$ をとれば $\sum \log (f_1/f_0)$ となり、各観測の証拠が加算的に積み上がります。これがネイマン・ピアソンが比を選ぶ理論的理由です。

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2. 具体例：正規分布の NP 検定

$N(\mu ,1)$ で $H_0:\mu =0$ vs $H_1:\mu =1$ を考えます。$n$ 個の独立観測 $X_1,\dots ,X_n$ の尤度比は：

$\Lambda >c$ という棄却条件を $\log$ で書き直すと：

つまり**「標本平均が閾値 $k$ を超える」**という直感的な棄却域になります。$k$ は水準 $\alpha$ から $P(\bar{X}>k\mid H_0)=\alpha$ を満たす値、例えば $n=25$、$\alpha =0.05$ なら $k=1.645/\sqrt{25}=0.329$。尤度比という抽象的な条件が、実用的な統計量（標本平均）の閾値検定と等価になるのが NP 定理の威力です。

試験頻出：「一様最強力検定（UMP test）」とは、片側仮説に対して水準 $\alpha$ を守りつつすべての対立仮説で検出力が最大になる検定です。両側検定では一般にUMPは存在しません。

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3. 複合仮説の大標本検定：3つのアプローチ

複合仮説（$H_0:\theta \in {\Theta }_0$）に対する大標本検定には3種類あります。

尤度比検定（Likelihood Ratio Test, LRT）：制約あり・なしの最尤推定量の尤度の比：

$r$ は制約の数（自由度）。$-2$ 倍の対数をとるのは、この変換によってウィルクスの定理が「漸近的にちょうど ${\chi }^2(r)$ 分布になる」と保証できる係数だからです。

ワルド型検定（Wald Test）：MLE $\hat{\theta }$ がどのくらい ${\theta }_0$ から離れているかで判断：

スコア検定（Score Test / Lagrange Multiplier Test）：「$H_0$ が真なら ${\theta }_0$ でスコア関数（対数尤度の微分）はゼロになるはず」という性質を使います。

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4. 3つの検定の使い分け表

漸近的同値性

大標本（$n\to \infty$）ではこの3つはすべて**漸近的に同じ ${\chi }^2(r)$ 分布に従い、検出力も同等になります。これを「3つの漸近的同値性」と呼びます。詳細はモジュール 1.22 のウィルクスの定理**で扱います。

試験頻出：小標本では3つの性質が異なります。一般に LRT が最も信頼され、計算コストを抑えたい場面ではスコア検定、信頼区間との対応を見たい場面ではワルド検定が選ばれます。

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5. 関連モジュールへの導線

• 1.18 P値・検定の誤り・検出力：第1種の過誤 $\alpha$・検出力 $1-\beta$ など本モジュールの前提を扱います。
• 1.22 漸近理論：ウィルクスの定理（$-2\log \Lambda \stackrel{d}{\to }{\chi }^2(r)$ の証明）、フィッシャー情報量との関係を扱います。
• 1.20 検定の実践：本モジュールで学んだ理論を、適合度検定・ノンパラメトリック検定などに応用します。

ネイマン・ピアソンの歴史的意義

NP定理（1933年）は「検定の最良性を客観的に評価する」枠組みを与えました。それ以前は検定の選択が経験的でしたが、NP定理以降は「水準 $\alpha$ と対立仮説を与えれば最強力検定が一意に決まる」と数学的に保証されるようになりました。これが現代統計学における頻度論的推測（Frequentist inference）の理論的支柱です。