被覆確率（Coverage Probability）が理論値からずれやすい状況はどれか？

が小さく母比率が0や1に近いとき

信頼区間：2標本問題と発展的話題

Q: 被覆確率（Coverage Probability）が理論値 からずれやすい状況はどれか？

が小さく母比率 が0や1に近いとき

2標本の信頼区間・被覆確率・片側信頼限界で、区間推定の応用と正確な解釈を学びます。

このモジュールで学ぶこと

前のモジュールでは1標本の3種類の信頼区間（母平均・母比率・母分散）を学びました。このモジュールでは「AとBを比べる」2標本問題の信頼区間と、被覆確率・片側信頼限界などの発展的なトピックを扱います。

1. 2標本問題の信頼区間

「AとBの2つのダイエット法で、体重減少量の差はどの範囲か？」2グループの比較です。

**2母平均の差 $μ_{1} - μ_{2}$ のCI**（等分散仮定あり）：

(\overset{ˉ}{X}_{1} - \overset{ˉ}{X}_{2}) \pm t_{α /2} (n_{1} + n_{2} - 2) \cdot S_{p} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}

プール分散 $S_{p}^{2} = \frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}$ （自由度 $n_{1} + n_{2} - 2$ の $t$ 分布）。

等分散仮定がない場合（Welch法）は、2群の分散が異なるためプール分散が使えません。代わりに「実質的な自由度を近似的に計算する」Welch-Satterthwaiteの近似で修正自由度を求め、その $t$ 分布を使います：

ν \approx \frac{( S _{1}^{2} / n _{1} + S _{2}^{2} / n _{2} ) ^{2}}{( S _{1}^{2} / n _{1} ) ^{2} / ( n _{1} - 1 ) + ( S _{2}^{2} / n _{2} ) ^{2} / ( n _{2} - 1 )}

**2母比率の差 $p_{1} - p_{2}$ のCI**（大標本）：

(\overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{2}) \pm z_{α /2} \frac{p ^ _{1} ( 1 - p ^ _{1} )}{n _{1}} + \frac{p ^ _{2} ( 1 - p ^ _{2} )}{n _{2}}

2. Welch法 vs プール分散：使い分け表

「等分散と仮定してよいか」で選ぶべき手法が変わります。

項目	プール分散（等分散仮定あり）	Welch法（等分散仮定なし）
想定	$σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$	$σ_{1}^{2} \neq = σ_{2}^{2}$ を許す
自由度	$n_{1} + n_{2} - 2$ （最大）	Welch-Satterthwaiteの近似（小さい）
検出力	仮定が正しいとき最大	一般にやや低い
仮定違反時	第1種の過誤がずれる	頑健（ロバスト）
推奨	分散がほぼ等しいことが事前に分かるとき	不明・ $n_{1} \neq = n_{2}$ ・分散比が大きいとき

実務的な指針：R の「t.test()」などはデフォルトで Welch 法を使います。「等分散かどうか不明なら Welch が安全」というのが現代の標準です。

3. Welchの自由度を計算する：具体例

設定：2グループの平均差を推定したいです。

グループ1： $n_{1} = 30$ 、 $\overset{ˉ}{X}_{1} = 50.0$ 、 $S_{1} = 2.5$
グループ2： $n_{2} = 30$ 、 $\overset{ˉ}{X}_{2} = 48.0$ 、 $S_{2} = 1.5$

ステップ1：各群の平均の分散を計算します。 $S_{1}^{2} / n_{1} = 6.25/30 \approx 0.2083$ 、 $S_{2}^{2} / n_{2} = 2.25/30 = 0.075$ 。

ステップ2：Welch-Satterthwaiteの自由度 $ν$ ：

ν \approx \frac{( 0.2083 + 0.075 ) ^{2}}{( 0.2083 ) ^{2} /29 + ( 0.075 ) ^{2} /29} = \frac{0.0802}{0.001496 + 0.000194} \approx 47.4

切り捨てて $ν = 47$ を使います。プール分散なら自由度 $n_{1} + n_{2} - 2 = 58$ なので Welch のほうが少し小さい値です。

よくある誤解：「Welch の自由度は整数だから四捨五入で切り上げよう」と扱うのは誤りです。Welch-Satterthwaite の自由度 $ν$ は一般に非整数（例：47.4）で、保守的に運用するなら切り捨てて小さい整数を使うのが原則です。切り上げると $t$ 分布の裾が薄くなる側に動き、第1種の過誤率が名目水準を超えるリスクがあります。R の「t.test()」は非整数自由度のまま $t$ 分布を扱うため、最も正確です。

ステップ3：標準誤差： $SE = 0.2083 + 0.075 \approx 0.532$ 。 $t_{0.025} (47) \approx 2.012$ （表参照）。

ステップ4：95% CI： $(50.0 - 48.0) \pm 2.012 \times 0.532 = 2.0 \pm 1.07 = [0.93, 3.07]$ 。

区間が0を含まないので「差はある」と結論できます。

4. 被覆確率：「公称95%」は本当に95%か？

被覆確率（Coverage Probability）：信頼区間の構成法が長期的に真の値を含む割合。理論上は $1 - α$ （公称水準）ですが、漸近近似（母比率の CI など）では有限標本での実際の被覆確率が $1 - α$ からずれることがあります。

状況	公称95% CI の実際の被覆確率	対処法
正規分布から大標本	約 95%（理論通り）	そのままで OK
母比率 $p$ が0や1に近い	95% を下回ることが多い	Clopper-Pearson 等の正確法
小標本での $χ^{2}$ 系	公称水準からずれる	正確法・並べ替え法
多重比較なし	95%	Bonferroni 等の調整

直感：「区間の作り方が雑だと、本当に真値を捕まえる確率が下がる」という品質指標が被覆確率です。シミュレーションで「真値を $10000$ 回設定して何回 CI に含まれたか」で実証できます。

5. 対応あり vs 独立2標本：使い分け

「2グループの平均差」と一括りにせず、観測の独立性を確認します。

データ構造	推奨手法	自由度
別の被験者で2群比較（独立）	プール分散 or Welch	$n_{1} + n_{2} - 2$ など
同一被験者の前後比較（対応）	差 $D_{i}$ を使う1標本 $t$	$n - 1$
双子・マッチドペア（対応）	差 $D_{i}$ を使う1標本 $t$	$n - 1$

対応のある2標本では、各個人の差 $D_{i} = X_{i 2} - X_{i 1}$ を計算してから1標本問題に帰着させます。 $\overset{ˉ}{D} \pm t_{α /2} (n - 1) \cdot S_{D} / n$ 。

試験頻出：対応データに独立2標本の式を使うと標準誤差が過大評価され、検出力を失います。「同じ人を2回測ったか？」を必ず確認しましょう。

6. 片側信頼限界：実務での使いどころ

片側信頼限界（One-sided Confidence Limit）：「真の値はこれ以下」「真の値はこれ以上」という一方向の主張。両側の $z_{α /2}$ の代わりに $z_{α}$ （より小さい値）を使うため区間が狭くなります：

下側限界（「 $μ$ はこの値以上」）： $\overset{ˉ}{X} - z_{α} \cdot σ / n$
上側限界（「 $μ$ はこの値以下」）： $\overset{ˉ}{X} + z_{α} \cdot σ / n$

使用場面	片側 CI の方向
薬の毒性閾値「副作用率は何%以下か？」	上側限界
製品の寿命「最低でも何時間持つか？」	下側限界
工場の不純物「最大濃度はいくら以下か？」	上側限界
投資のリターン「最低でもいくら以上か？」	下側限界

直感：両側 95% CI と片側 95% 限界は別物です。片側のほうが片端のみで $α$ をすべて使うため、限界値はより内側（厳しい主張）になります。

試験頻出：信頼区間の幅は $n$ が4倍になると半分になります。「区間を半分にしたければサンプルを4倍に」という関係を覚えておきましょう。

確認クイズ（抜粋）

Q1. 2標本問題（等分散仮定あり）で2母平均の差の信頼区間に使うプール分散 $S_{p}^{2}$ の自由度はどれか？

A. $n_{1} + n_{2} - 2$

Q2. 95%信頼区間の幅を半分にするには、サンプルサイズを何倍にすればよいか？

A. 4倍

Q3. 被覆確率（Coverage Probability）が理論値 $1 - α$ からずれやすい状況はどれか？

A. $n$ が小さく母比率 $p$ が0や1に近いとき

全10問のクイズはサイトのインタラクティブ版でお試しください。

第4章の他のモジュール

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