信頼区間：2標本問題と発展的話題

このモジュールで学ぶこと 前のモジュールでは1標本の3種類の信頼区間（母平均・母比率・母分散）を学びました。このモジュールでは「AとBを比べる」2標本問題の信頼区間と、被覆確率・片側信頼限界などの発展的なトピックを扱います。 2標本問題の信頼区間 「AとBの2つのダイエット法で、体重減少量の差はどの範囲か？」——2グループの比較です。 2母平均の差 のCI（等分散仮定あり）： プール分散 （自由度 の 分布）。 等分散仮定がない場合（Welch法）は、2群の分散が異なるためプール分散が使えません。代わりに「実質的な自由度を近似的に計算する」Welch-Satterthwaiteの近似で修正自由度を求め、その 分布を使います： 2母比率の差 のCI（大標本）： Welch法 vs プール分散：使い分け表 「等分散と仮定してよいか」で選ぶべき手法が変わります。 実務的な指針：R の 「t.test()」 などはデフォルトで Welch 法を使います。「等分散かどうか不明なら Welch が安全」というのが現代の標準です。 Welchの自由度を計算する：具体例 設定：2グループの平均差を推定したいです。 グループ1：、、 グループ2：、、 ステップ1：各群の平均の分散を計算します。、。 ステップ2：Welch-Satterthwaiteの自由度 ： 切り捨てて を使います。プール分散なら自由度 なので Welch のほうが少し小さい値です。 よくある誤解：「Welch の自由度は整数だから四捨五入で切り上げよう」と扱うのは誤りです。Welch-Satterthwaite の自由度 は一般に非整数（例：47.4）で、保守的に運用するなら切り捨てて小さい整数を使うのが原則です。切り上げると 分布の裾が薄くなる側に動き、第1種の過誤率が名目水準を超えるリスクがあります。R の 「t.test()」 は非整数自由度のまま 分布を扱うため、最も正確です。 ステップ3：標準誤差：。（表参照）。 ステップ4：95% CI：。 区間が0を含まないので「差はある」と結論できます。 被覆確率：「公称95%」は本当に95%か？ 被覆確率（Coverage Probability）：信頼区間の構成法が長期的に真の値を含む割合。理論上は （公称水準）ですが、漸近近似（母比率の CI など）では有限標本での実際の被覆確率が からずれることがあります。 直感：「区間の作り方が雑だと、本当に真値を捕まえる確率が下がる」という品質指標が被覆確率です。シミュレーションで「真値を 回設定して何回 CI に含まれたか」で実証できます。 対応あり vs 独立2標本：使い分け 「2グループの平均差」と一括りにせず、観測の独立性を確認します。 対応のある2標本では、各個人の差 を計算してから1標本問題に帰着させます。。 試験頻出：対応データに独立2標本の式を使うと標準誤差が過大評価され、検出力を失います。「同じ人を2回測ったか？」を必ず確認しましょう。 片側信頼限界：実務での使いどころ 片側信頼限界（One-sided Confidence Limit）：「真の値はこれ以下」「真の値はこれ以上」という一方向の主張。両側の の代わりに （より小さい値）を使うため区間が狭くなります： 下側限界（「 はこの値以上」）： 上側限界（「 はこの値以下」）： 直感：両側 95% CI と片側 95% 限界は別物です。片側のほうが片端のみで をすべて使うため、限界値はより内側（厳しい主張）になります。 試験頻出：信頼区間の幅は が4倍になると半分になります。「区間を半分にしたければサンプルを4倍に」という関係を覚えておきましょう。