検定の実践：正規・適合度・ノンパラメトリック

このモジュールで学ぶこと

前のモジュールで検定の理論的基礎（NP定理・大標本検定）を学びました。このモジュールでは試験頻出の実践的な検定法（正規分布に関する検定・適合度検定・ノンパラメトリック検定）を整理します。

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1. 正規分布に関する検定

「薬を飲む前後で血圧が変わったか？」「製品の重さが規格内か？」「2つの工場の不良率に差はあるか？」状況によって使う検定式が変わります。各式で ${\mu }_0$・${\sigma }_0^2$ は「帰無仮説で設定した母平均・母分散の値」です。

**母平均の検定（${\sigma }^2$ 既知）**：$Z=(\bar{X}-{\mu }_0)/(\sigma /\sqrt{n})\sim N(0,1)$、両側検定で $|Z|>z_{\alpha /2}$ なら棄却。

**母平均の検定（${\sigma }^2$ 未知）**：$T=(\bar{X}-{\mu }_0)/(S/\sqrt{n})\sim t(n-1)$。

母分散の検定：${\chi }^2=(n-1)S^2/{\sigma }_0^2\sim {\chi }^2(n-1)$。

2標本問題（等分散仮定あり）：$T=({\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2)/S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}\sim t(n_1+n_2-2)$。ここで $S_p^2$ はプールした分散。

母相関係数の検定（$H_0:\rho =0$ のとき）：$t=r\sqrt{n-2}/\sqrt{1-r^2}\sim t(n-2)$。

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2. 正規性検定：どれを使うか

正規分布を仮定する $t$ 検定などの前に「データが本当に正規分布に従うか」を確認するための検定です。

直感：「正規性の検定で帰無仮説（正規）を棄却できない」は「正規性が確認できた」を意味しません。$n$ が小さければ検出力不足、$n$ が極端に大きいと些細なずれでも棄却される、という二面性があります。Q-Q プロットの目視確認との併用が実務的です。

よくある誤解：「Shapiro-Wilk で $p>0.05$ だったから正規性が証明された」と結論するのは誤りです。正規性検定の帰無仮説は「データは正規分布に従う」で、非棄却は「正規性の証明」ではなく「正規性に矛盾する証拠が不十分」を意味するだけです。特に $n=10$ など小標本では検出力が低く、本当は正規でなくても棄却されにくくなります。逆に $n$ が非常に大きい場合（数千以上）はわずかな逸脱でも棄却されるため、検定だけに頼らず Q-Q プロットや歪度・尖度との総合判断が必要です。

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3. 適合度検定と一般の分布の検定

「データが特定の分布に従うか」を調べる検定です。

適合度検定（Goodness-of-fit Test）：$k$ カテゴリの観測度数 $O_i$ と期待度数 $E_i$ の乖離を測ります：

$p$ はデータから推定したパラメータ数（自由度から引く）。「サイコロは公正か？」「データは正規分布に従うか？」などに使います。二項分布・ポアソン分布などについても同様の ${\chi }^2$ 検定が適用できます。

具体例：サイコロは公正か？

サイコロを60回投げた結果、各目の出現回数が以下のとおりでした。

公正なら各目の期待値は $60/6=10$。${\chi }^2$ 統計量を計算します：

自由度 $=k-1=5$（パラメータ推定なし）。${\chi }_{0.05}^2(5)=11.07$。$3.4<11.07$ なので 棄却できない → 「公正でないとは言えない」と結論します。P値はおよそ 0.64 です。

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4. ノンパラメトリック検定

正規性などの分布の仮定をおかずに使える検定です。外れ値に強いという特長があります。

ウィルコクソンの順位和検定（Wilcoxon 2標本検定）：2標本の分布が等しいかを順位データで検定します（Mann-Whitney の $U$ 検定と同値）。

符号付き順位検定（Signed-Rank Test）：対応ありの2標本（前後比較など）で中央値の差を検定します。

クラスカル・ウォリス検定（Kruskal-Wallis Test）：3群以上の比較で分散分析の代替として使います（一元配置 ANOVA のノンパラ版）。

順位相関係数：スピアマンの $\rho =1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$（$d_i$：順位の差）。「大小関係だけ」でデータの相関を測ります。

並べ替え検定（Permutation Test）：「$H_0$ が真なら、2グループへのラベル割り当ては任意のはず」という発想に基づく検定。分布の仮定が一切不要で、小標本でも正確です。

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5. ノンパラ検定の選び方：使い分け表

「パラメトリックの代替として」どれを使うかを整理します。

直感：ノンパラ検定の核心は「順位（rank）に変換してから扱う」ことです。順位は最大値・最小値の影響を抑えるため、外れ値に頑健になります。一方で連続値の細かい情報を捨てるため、正規分布が本当に成立する状況では検出力がやや劣ります。

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6. 検定の選び方フローチャート

実務で「どの検定を使うべきか」迷ったときの判断フロー：

1. データの構造を確認：独立 or 対応？群の数は？順序データか連続データか？
2. 正規性検定（Shapiro-Wilk 等）または Q-Q プロットで確認。
3. 正規性 OK → パラメトリック検定（$t$・ANOVA など）を使う。
4. 正規性 NG または 順序データ → ノンパラ検定を使う。
5. **$n$ が極端に小さい**（$n\le 10$ など） → 並べ替え検定や正確検定を検討。

試験頻出：ノンパラ検定は「分布によらず使える」が「同じ状況なら対応する正規検定より検出力が低い」というトレードオフがあります。「ペアか独立か」「群数は2か3以上か」の2軸で適切な検定を選ぶ問題が頻出です。