離散分布の基礎：二項・超幾何・一様分布

このモジュールで学ぶこと 「サイコロの目はどれが出やすいか？」「新薬の治験で10人に投与したとき、何人に効果が出るか？」——このような「数を数える（離散型の）」データには、試行の条件によって使う分布が変わります。このモジュールでは、最もシンプルな「離散一様分布」から出発し、「成功か失敗か」の繰り返しから生まれるベルヌーイ分布・二項分布・超幾何分布を具体例とともに学びます。 離散一様分布：最もシンプルな離散分布 「公正なサイコロを1回振ったときの目の数」——どの値も全く同じ確率で出る場合が離散一様分布（Discrete Uniform Distribution）です。 が の値を等確率でとるとき： 期待値 （例：サイコロは ）、分散 。 乱数生成・ゲーム理論・くじ引きなど、すべての選択肢が等確率の場面の基本分布です。 ベルヌーイ試行とベルヌーイ分布 ここからは「成功か失敗か」の2択に注目します。コインを1回投げて表（成功）か裏（失敗）かを見るような「2択の1回勝負」をベルヌーイ試行と呼びます。 これを記述するのがベルヌーイ分布（Bernoulli Distribution）です。成功確率を （）とすると： 期待値は「成功なら1、失敗なら0」なので 。分散は （0か1の二乗はもとの値と同じ）なので となり、。 二項分布：「復元あり」の繰り返し ベルヌーイ試行を互いに独立に（以前の結果に影響されず） 回繰り返したときの「成功回数」が従う分布が二項分布（Binomial Distribution） です。「10回中何回成功するか」という問いに答えます： は「 回中 回成功する順序の数（組み合わせ数）」です。 期待値 、分散 。 試験頻出： が大きく が小さいとき二項分布はポアソン分布（）で近似できます（少数法則）。 が大きいとき正規分布でも近似できます（後の章で学ぶ中心極限定理による）。 超幾何分布：「復元なし」の繰り返し 「袋に赤玉5個・青玉10個。無作為に4個取り出したとき、赤玉が 個入っている確率は？」——これが超幾何分布（Hypergeometric Distribution）の典型的な状況です。二項分布との決定的な違いは「復元なし（取り出した玉を戻さないため、毎回の成功確率が変わる）」という点です。 母集団 個のうち 個が特定の種類（成功）。そこから 個を無作為に（復元なしで）取り出したとき、特定の種類が 個入る確率： 期待値 （二項分布の に相当）、分散は： 係数 を有限母集団修正（FPC: Finite Population Correction）と呼びます。 のとき常に1未満なので、分散は対応する二項分布 の分散より小さくなります。母集団 が大きければ（）超幾何分布は二項分布で近似できます。これが「復元なし ≈ 母集団が非常に大きければ復元ありと同じ」という直感に対応します。