ポアソン・幾何・多項分布：件数と待ち時間の分布

このモジュールで学ぶこと 「1時間に何件のコールが来るか？」「初めて成功するまで何回かかるか？」「3種類の結果が出る試行を繰り返すとどうなるか？」——前モジュールで二項分布族を学びました。ここでは待ち時間・稀な件数・多択結果を記述する3つの分布を学びます。 「何件起きるか」から「いつ起きるか」へ 二項分布が「 回試行して何回成功するか」を問うのに対し、ポアソン分布は「稀な事象が単位期間に何件起きるか」、幾何分布は「何回試行して初めて成功するか（待ち時間）」を問います。現象の性質によって使い分けることが重要です。 ポアソン分布 「ある交差点で1時間に起きる交通事故の件数」「1ページの誤植の数」——稀な事象が一定期間・一定範囲内に起きる件数はポアソン分布（Poisson Distribution）に従います。 パラメータ （ラムダ）は単位期間あたりの平均発生件数です。例：1時間あたり平均2件なら 。 ポアソン分布の美しい性質：期待値と分散がともに に等しい。 独立なポアソン変数の和もポアソン分布になります：、 が独立なら 。 ポアソン分布の導出（少数法則） 二項分布 で 、、 の極限をとるとポアソン分布に収束します。これが「少数法則」です。 ポアソン分布の正規近似： が大きいとき（目安 ）、ポアソン分布は正規分布で近似できます：（期待値 分散 を利用）。二項分布の正規近似と合わせて、大きなパラメータの確率計算に使います。 連続修正（Continuity Correction）：ポアソン分布も二項分布も「整数値しかとらない離散分布」です。これを連続な正規分布で近似するとき、「整数 は実数軸の区間 を代表する」と考えて を加減する補正が連続修正です。どちらの分布を正規近似するときも同じルールを使います。 例： で を正規近似するとき、連続修正なしだと 、連続修正ありだと として計算します（ を加える理由：整数 が の区間全体を代表するから）。 試験頻出：「 の正規近似」では 、「 の正規近似」では とします（ は近似に使う正規確率変数）。 ポアソン分布で「何件起きるか」がわかりました。次は視点を変えて「初めて成功するまでに何回かかるか」という待ち回数の分布を学びます。 幾何分布・負の二項分布 「コインを投げて初めて表が出るまでの回数」——前モジュールで学んだベルヌーイ試行（1回の成功確率 、各試行が独立）を繰り返す状況で、初めての成功まで何回かかるかを記述するのが幾何分布（Geometric Distribution）です。 「 回目に初めて成功する」とは——最初の 回が独立に失敗し（各回の確率 ）、ちょうど 回目に成功する（確率 ）ことです。各試行が独立なので確率を掛け合わせると： 期待値 （成功確率 の逆数——平均 回試行すれば1回成功する）、分散 。 無記憶性（Memoryless Property）：——「すでに 回失敗していても、あと 回以内に成功する確率は最初から変わらない」性質。連続型では指数分布が同じ性質を持ちます。 負の二項分布（Negative Binomial Distribution）は幾何分布の一般化で、「 回成功するまでの試行回数」を記述します。幾何分布は の特殊ケースです。期待値 、分散 （幾何分布の 倍になっています）。 多項分布 二項分布が「成功か失敗か（2択）」なら、多項分布（Multinomial Distribution）は「3択以上」への拡張です。 種類の結果が確率 （）で起きる試行を 回繰り返したとき、各結果が 回起きる同時確率： 各周辺分布は二項分布 になります。なぜかというと、 番目の結果だけに注目すると「 が出る（確率 ）か出ない（確率 ）か」の2択に帰着するためです。品質管理（良品・不良A・不良B）や選挙の得票率分析などに使われます。