連続型分布の基礎：指数・ガンマ・ベータ・コーシー・対数正規

このモジュールで学ぶこと 「機械が故障するまでの時間はどんな分布をするか？」「価格変動の対数をとったら正規分布に近づくのはなぜか？」——正規分布だけでは記述できない現象が多くあります。このモジュールでは準1級頻出の5つの連続型分布を、互いの「家族関係」とともに学びます。 分布の「家族関係」を意識する このモジュールで学ぶ分布は互いに密接につながっています。指数分布はガンマ分布の特殊ケース（）、後の章で学ぶカイ二乗分布もガンマ分布族の一員——この「家族関係」を頭に入れると覚えやすくなります。 指数分布 「コールセンターで次の電話がかかってくるまでの待ち時間」「電球が切れるまでの時間」——指数分布（Exponential Distribution）は「稀な事象（ポアソン過程）の待ち時間」を記述します。 は単位時間あたりの平均発生率です。期待値 、分散 。 指数分布は無記憶性を持ちます：——「すでに 時間動いていても、次の故障まであと 時間以上かかる確率は最初と同じ」。連続型でこの性質を持つ唯一の分布です。 試験頻出：ポアソン分布（件数）と指数分布（待ち時間）はセットで使われます。ポアソン過程のイベント間の時間は指数分布に従います。 ガンマ分布・ベータ分布 ガンマ分布は指数分布の一般化です。「 回のイベントが起きるまでの総待ち時間」を記述します。例えば、コールセンターで3件の電話を受けるまでの総待ち時間（）がガンマ分布に従います。1件ずつの待ち時間は指数分布で、それを3つ足した合計がガンマ分布というわけです。 はガンマ関数で、（整数の場合）。 期待値 、分散 （指数分布の 倍）。 のとき指数分布に一致します 独立なガンマ変数の和もガンマ分布： 後の章で学ぶカイ二乗分布は の特殊ケースです ベータ分布は 区間の確率変数を記述します。比率・割合（合格率、市場シェアなど）のモデルや、ベイズ統計での事前分布として頻繁に使われます。 はベータ関数（全体を積分すると1になるよう正規化する定数）です。期待値 。 のとき一様分布になります。 コーシー分布・対数正規分布 コーシー分布（Cauchy Distribution）は正規分布に似た鐘型ですが、裾が著しく重い分布です： 期待値・分散が存在しない（無限大になる）という特徴があります。 分布で自由度 の場合と一致します。外れ値が頻繁に起きる現象（金融市場の大暴落など）のモデルに使われます。 対数正規分布は、 が正規分布に従う場合の の分布です。株価・所得・企業規模など「掛け算で成長するプロセス」の結果はしばしば対数正規分布に従います。 のとき 、。右裾が重い（正の歪度）分布です。