多変量正規分布・変数変換・極値分布

このモジュールで学ぶこと 1変数の連続型分布（指数・ガンマ・ベータなど）を学んだ次のステップとして、このモジュールでは「複数の変数が同時に絡む」3つのテーマを扱います。多変量正規分布（複数の変数が正規分布に従う場合）、変数変換（ある変数から別の変数に変換した後の分布）、そして極値分布（最大値・最小値が従う分布）です。 「変換」と「多次元」が共通キーワード このモジュールのテーマはすべて「1変数の分布から出発して、何らかの変換・拡張をしたとき分布がどう変わるか」という問いに答えます。ヤコビアンは「1変数変換の面積補正」、多変量正規分布は「正規分布の多次元拡張」として統一的に理解できます。 多変量正規分布 「身長と体重を同時に測ると、身長が高い人ほど体重も重い傾向がある」——2つの変数が互いに関係しながら「正規分布的」に散らばる状況を記述するのが多変量正規分布です。1変数の正規分布を 次元に拡張したもので： 次元ベクトル の PDF は： ： 次元平均ベクトル ： 分散共分散行列（対角成分が分散、非対角成分が共分散） 多変量正規分布の重要な性質：周辺分布・条件付き分布も正規分布、任意の線形変換も正規分布、相関係数が0 ⟺ 統計的独立（正規分布に限り成立する特別な性質）。 試験頻出：一般の分布では「無相関 ⟹ 独立」は成立しません。しかし多変量正規分布に限り「無相関 ⟺ 独立」が成立します。この方向性の違いに注意しましょう。 変数変換 確率変数 を関数 で変換したとき、 の分布を求めるにはヤコビアン（Jacobian）を使います。 なぜ をそのまま使えないのでしょう？変換 は確率の「面積」を引き伸ばしたり縮めたりするからです。例えば なら横軸が2倍に伸び、同じ確率が「幅2倍の区間」に散らばります。ヤコビアン はこの伸縮率を補正して「確率の総量が変わらない」ことを保証する係数です。 が単調増加（または単調減少）の場合、 の PDF は： 例：、 のとき は対数正規分布になります。、 なので： 試験頻出：確率変数の線形変換 では 、。 なら 。 極値分布 「100年に一度の洪水の水位」「 個の電球のうち最初に切れるものの寿命」——最大値・最小値が従う分布が極値分布（Extreme Value Distribution）です。 個の独立同分布の観測値の最大値を適切に正規化すると、 で3種類の分布のいずれかに収束します（Fisher-Tippett-Gnedenko の定理）： ガンベル分布（Gumbel / Type I）：指数型の裾（正規分布・指数分布など）の最大値が収束。（二重指数の形は「指数的に小さくなる確率が 個の独立な最大値取り合いから生まれる」ことによる）。気象・土木分野で最頻出。 フレシェ分布（Fréchet / Type II）：べき乗則の重い裾（コーシー・パレートなど）の最大値が収束。金融リスク・地震規模などに使われる。 ワイブル分布（Weibull / Type III）：有界な分布（一様分布など）の最大値が収束。信頼性工学（部品の寿命）で多用される。 これら3族を統一した一般極値分布（GEV: Generalized Extreme Value）は形状パラメータ で切り替わります： がガンベル、 がフレシェ、 がワイブルです。