多変量正規分布・変数変換・極値分布

このモジュールで学ぶこと

1変数の連続型分布（指数・ガンマ・ベータなど）を学んだ次のステップとして、このモジュールでは「複数の変数が同時に絡む」3つのテーマを扱います。多変量正規分布（それぞれの変数が左右対称の釣鐘形の正規分布に従い、互いに相関も持つ場合。1変数の正規分布そのものは次のモジュール正規分布の性質で詳しく学びます）、変数変換（ある変数から別の変数に変換した後の分布）、そして極値分布（最大値・最小値が従う分布）です。

「変換」と「多次元」が共通キーワード

このモジュールのテーマはすべて「1変数の分布から出発して、何らかの変換・拡張をしたとき分布がどう変わるか」という問いに答えます。ヤコビアンは「1変数変換の面積補正」、多変量正規分布は「正規分布の多次元拡張」として統一的に理解できます。

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1. 多変量正規分布

「身長と体重を同時に測ると、身長が高い人ほど体重も重い傾向がある」2つの変数が互いに関係しながら「正規分布的」に散らばる状況を記述するのが多変量正規分布です。1変数の正規分布を $p$ 次元に拡張したもので：$p$ 次元ベクトル $\mathbf{X}$ の PDF は：

• $\mathbf{\mu }$：$p$ 次元平均ベクトル
• $\Sigma$：$p\times p$ 分散共分散行列（対角成分が分散、非対角成分が共分散）

多変量正規分布の重要な性質：周辺分布・条件付き分布も正規分布、任意の線形変換も正規分布、相関係数が0 ⟺ 統計的独立（$X$ と $Y$ が多変量（同時）正規分布に従うときに成り立つ性質。$X$ と $Y$ がそれぞれ正規分布に従うだけでは成り立ちません）。

つまずきやすい点：一般の分布では「無相関 ⟹ 独立」は成立しません。しかし多変量正規分布では「無相関 ⟺ 独立」が成立します。この方向性の違いに注意しましょう。

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2. 変数変換

確率変数 $X$ を関数 $Y=g(X)$ で変換したとき、$Y$ の分布を求めるにはヤコビアン（Jacobian）を使います。

なぜ $f_X$ をそのまま使えないのでしょう？変換 $Y=g(X)$ は確率の「面積」を引き伸ばしたり縮めたりするからです。例えば $Y=2X$ なら横軸が2倍に伸び、同じ確率が「幅2倍の区間」に散らばります。ヤコビアン $|d{g}^{-1}/dy|$ はこの伸縮率を補正して「確率の総量が変わらない」ことを保証する係数です。

$g$ が単調増加（または単調減少）の場合、$Y=g(X)$ の PDF は：

例：$X\sim N(0,1)$、$Y=e^X$ のとき $Y$ は対数正規分布になります。$g^{-1}(y)=\ln y$、$|d(\ln y)/dy|=1/y$ なので：

押さえどころ：確率変数の線形変換 $Y=aX+b$ では $E[Y]=aE[X]+b$、$\text{Var}(Y)=a^2\text{Var}(X)$。$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ なら $Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$。

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3. 極値分布

「100年に一度の洪水の水位」「$n$ 個の電球のうち最初に切れるものの寿命」最大値・最小値が従う分布が極値分布（Extreme Value Distribution）です。

$n$ 個の独立同分布の観測値の最大値を適切に正規化すると、$n\to \infty$ で3種類の分布のいずれかに収束します（Fisher-Tippett-Gnedenko の定理）：

• ガンベル分布（Gumbel / Type I）：指数型の裾（正規分布・指数分布など）の最大値が収束。$F(x)=\exp (-e^{-(x-\mu )/\sigma })$（二重指数の形は「指数的に小さくなる確率が $n$ 個の独立な最大値取り合いから生まれる」ことによる）。気象・土木分野の極値解析でよく使われます。
• フレシェ分布（Fréchet / Type II）：べき乗則の重い裾（コーシー・パレートなど）の最大値が収束。金融リスク・地震規模などに使われる。
• ワイブル分布（Weibull / Type III）：有界な分布（一様分布など）の最大値が収束。信頼性工学（部品の寿命）で多用される。

これら3族を統一した一般極値分布（GEV: Generalized Extreme Value）は形状パラメータ $\xi$ で切り替わります：$\xi =0$ がガンベル、$\xi >0$ がフレシェ、$\xi <0$ がワイブルです。