変数変換：Y = g(X) の分布とヤコビアン

このモジュールで学ぶこと

$X$ の分布が分かっているとき、$Y=g(X)$ の分布を求める方法を学びます。例えば「$\ln X$ が正規分布に従うとき、$X$ はどんな分布か」（対数正規分布）という問いです。

• 単調な変換の公式とヤコビアン
• 単調でない変換（$Y=X^2$）
• 2つの変数をまとめて変換する

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1. 確率は移しても変わらない

帯の幅と高さ

$X$ がある区間に入る確率と、その区間を $g$ で移した先に $Y$ が入る確率は同じです。区間の幅が変われば、同じ面積を保つために高さ（密度）が変わります。確率分布の基礎で、$X$ を2倍すると幅が2倍、山の高さが半分になったのと同じです。

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2. 単調な変換の公式

公式とヤコビアン

$g$ が単調増加か単調減少なら、$x=g^{-1}(y)$ として次の式です。

$|dx/dy|$ は「$y$ を少し動かしたとき、$x$ がどれだけ動くか」で、幅の伸び縮みを補正します。これをヤコビアンと呼びます。

例で確かめる

1行目は上の図の曲線です。2行目は、一様乱数から指数分布 $\text{Exp}(1)$ の乱数を作る方法として使われます。3行目は次の式になります。

これが対数正規分布 $\text{LogN}(0,1)$ の密度です。

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3. 単調でない変換：寄与を足す

2つの x が同じ y に移る

$X$ が $N(0,1)$ に従い $Y=X^2$ のときは、1つの $y$ に $x=\sqrt{y}$ と $x=-\sqrt{y}$ の2つが対応します。両方の寄与を足します。

これは自由度1のカイ二乗分布の密度で、標本分布の相互関係で使います。

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4. 2つの変数をまとめて変換する

面積の倍率を掛ける

$(X,Y)$ から $(U,V)$ へ変換するときは、$|dx/dy|$ の代わりに、偏微分を並べた行列式 $J$ の絶対値を掛けます。この $J$ もヤコビアンと呼びます。小さな長方形が、移った先で何倍の面積になるかの補正です。

例：指数分布2つの和

$X$ と $Y$ が独立で、どちらも指数分布 $\text{Exp}(\lambda )$ に従うときの和 $U=X+Y$ の分布を求めます。

1. $V=X$ も一緒に置くと、$x=v$、$y=u-v$ です
2. $J=\det \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=-1$ なので、$|J|=1$ です
3. 同時密度は $\lambda e^{-\lambda v}\cdot \lambda e^{-\lambda (u-v)}={\lambda }^2{e}^{-\lambda u}$（$0<v<u$）です
4. $v$ について0から $u$ まで積分すると、$f_U(u)={\lambda }^{2}u{e}^{-\lambda u}$ です

これは $\text{Ga}(2,\lambda )$ の密度で、指数分布とガンマ分布で学んだ「2件目が起きるまでの待ち時間」と一致します。手順4の積分の幅 $u$ が、図の線分の長さにあたります。

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5. このモジュールの変換のまとめ