極値分布：最大値・最小値の分布とガンベル分布

このモジュールで学ぶこと

「100年に一度の洪水の水位」「10個の部品のうち最初の1個が壊れるまでの時間」のように、たくさんの値の最大値や最小値の分布を学びます。

• 最大値・最小値の分布関数と密度
• $n$ を大きくしたときの極限：ガンベル・フレシェ・ワイブルの3つの型

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1. 最大値と最小値の分布関数

全部が x 以下になる確率

$X_1,\dots ,X_n$ が独立で、どれも分布関数 $F(x)=P(X\le x)$ に従うとします。最大値 $M$ が $x$ 以下になるのは、$n$ 個全部が $x$ 以下のときです。最小値 $m$ が $x$ を超えるのは、全部が $x$ を超えるときです。

最小値の例：最初の故障

平均寿命1000時間の指数分布（$\lambda =1/1000$）に従う部品10個が独立に動くとき、次の式になります。

最初の故障までの時間は $\text{Exp}(10\lambda )$ に従い、平均は100時間です。

密度

分布関数を微分すると、最大値と最小値の密度になります。

途中の $k$ 番目の値の分布は、十分統計量・順序統計量で図にしています。

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2. n を大きくしたときの形

ずらすと形がそろう

$n$ を大きくすると、最大値はどんどん大きくなります。そこで、位置をずらし、幅をそろえて形だけを比べます。

ガンベル分布が出てくる

平均1の指数分布なら $F(x)=1-e^{-x}$ です。最大値から $\ln n$ を引くと、次のようになります（$(1+a/n{)}^n\to e^a$ を使います）。

この $\exp (-e^{-x})$ がガンベル分布の分布関数です。$e$ が2重になった形は、ここから来ています。

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3. 極限は3つの型しかない

一般極値分布

元の分布が違っても、ずらして幅をそろえた最大値に極限の分布があるなら、それは3つの型のどれかです（Fisher-Tippett-Gnedenko の定理）。3つは、形状パラメータ $\xi$ をもつ一般極値分布（GEV）にまとめられます。

どの型になるかは元の分布の裾で決まる

元の分布の右の裾が指数的に減ればガンベル型、べき乗でゆっくり減ればフレシェ型、上限があればワイブル型になります。

最小値とワイブル分布

最小値は、符号を反転すれば最大値として扱えます。ワイブル型は正確には通常のワイブル分布を左右反転した形で、通常のワイブル分布は最小値の極限として現れます。部品の寿命（一番弱い所で壊れる）に使うのはこちらです。