幾何・負の二項・多項分布：待ち回数と多択の分布

成功するまでに何回かかるか、結果が3種類以上あるときそれぞれ何回出たかを、二項分布を広げて学びます。

このモジュールで学ぶこと

前のモジュールのポアソン分布では、「一定の時間に何件起きるか」を数えました。このモジュールでは、二項分布を別の2つの方向に広げます。

成功するまでに何回かかるか：1回目の成功までなら幾何分布、 $r$ 回目の成功までなら負の二項分布
結果が3種類以上あるとき、それぞれ何回出たか：多項分布

どちらも、1回ごとの確率が決まっていて、各回が互いに影響しない試行を繰り返す場面です。

1. 幾何分布・負の二項分布

サイコロを振り続けて、初めて6が出るのは何回目でしょうか。1回目で出ることもあれば、10回振っても出ないこともあります。

この「初めて成功するまでの回数」を表すのが幾何分布（Geometric Distribution）です。前提は、1回ごとの成功確率が $p$ で、各回が互いに影響しない試行（離散分布の基礎で学んだベルヌーイ試行）を繰り返すことです。

「 $k$ 回目に初めて成功する」とは、最初の $k - 1$ 回がすべて失敗し（各回の確率 $1 - p$ ）、 $k$ 回目に成功する（確率 $p$ ）ことです。各回は互いに影響しないので、確率を掛け合わせます。

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, k = 1, 2, 3, \dots

サイコロ（ $p = 1/6$ ）なら、1回目で6が出る確率は $1/6 \approx 0.167$ 、2回目で初めて出る確率は $(5/6) \times (1/6) \approx 0.139$ 、3回目は $(5/6)^{2} \times (1/6) \approx 0.116$ です。1回ごとに $5/6$ 倍ずつ小さくなっていきます。

サイコロで初めて6が出る回の分布（p = 1/6）です。いちばん起こりやすいのは1回目（0.17）で、そこから1回ごとに 5/6 倍ずつ低くなり、右へ長い裾を引きます。平均は6回目ですが、山の頂上は1回目にあり、10回振っても6が出ない確率（灰色の棒の合計。表示した20回目より先も含む）も 0.16（約16%）あります。

期待値と分散は次のとおりです。

E [X] = \frac{1}{p}, Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}

サイコロなら、初めて6が出るのは平均して $1/ (1/6) = 6$ 回目です。成功しにくい（ $p$ が小さい）ほど、待つ回数の平均もばらつきも大きくなります。

教科書によっては、「初めて成功するまでに何回失敗したか」（成功の回は数えない）を $X$ とすることがあります。その場合 $X$ は0から始まり、 $P (X = k) = (1 - p)^{k} p$ 、期待値は $(1 - p) / p$ と1だけ小さくなります。問題文がどちらで数えているかを確かめてください。

無記憶性：これまでの失敗は、この先に影響しない

「 $n$ 回振っても6が出ない」確率は、 $n$ 回続けて失敗する確率なので $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ です。これを使うと、すでに $m$ 回失敗したという条件のもとで、さらに $n$ 回失敗する確率は

P (X > m + n ∣ X > m) = \frac{( 1 - p ) ^{m + n}}{( 1 - p ) ^{m}} = (1 - p)^{n} = P (X > n)

となり、最初から $n$ 回失敗する確率と同じです。この性質を無記憶性（Memoryless Property）と呼びます。

例えば、5回振ってまだ6が出ていないとします。そこから3回以内に6が出る確率は $1 - (5/6)^{3} \approx 0.42$ で、振り始めたときの「3回以内に出る確率」と変わりません。「これだけ外れたのだから、そろそろ出るはず」とはならないのです。

連続型の分布では、次のモジュール連続型分布の基礎で学ぶ指数分布（待ち時間を表す連続型の分布）が、同じ性質を持ちます。

負の二項分布： $r$ 回成功するまでの回数

幾何分布は「1回成功するまで」でした。これを「 $r$ 回成功するまで」に広げたのが負の二項分布（Negative Binomial Distribution）です。 $r = 1$ のときが幾何分布です。

「 $k$ 回目にちょうど $r$ 回目の成功が来る」とは、最後の $k$ 回目が成功で、それより前の $k - 1$ 回の中に成功がちょうど $r - 1$ 回あることです。前の $k - 1$ 回のどこで成功するかの選び方が $_{k - 1} C_{r - 1}$ 通りあるので、

P (X = k) =_{k - 1} C_{r - 1} p^{r} (1 - p)^{k - r}

（ $k$ は $r, r + 1, r + 2, \dots$ のどれか）

例えばコインで表が3回出るまで投げるとき（ $r = 3$ 、 $p = 1/2$ ）、ちょうど5回目で終わる確率は $_{4} C_{2} \times (1/2)^{5} = 6/32 \approx 0.19$ です。

$r$ 回成功するまでの回数は、「1回目の成功までの回数」「そこから2回目の成功までの回数」…と、幾何分布に従う待ち回数を $r$ 個足したものです。そのため期待値と分散は幾何分布のちょうど $r$ 倍になります。

E [X] = \frac{r}{p}, Var (X) = \frac{r ( 1 - p )}{p ^{2}}

2. 多項分布

二項分布は、1回の結果が「成功か失敗か」の2種類でした。結果が3種類以上ある場合に広げたのが多項分布（Multinomial Distribution）です。

工場の製品が、確率 0.7 で良品、0.2 で不良A、0.1 で不良Bになるとします。5個作ったとき、良品3個・不良A1個・不良B1個になる確率を考えます。

「良品・良品・良品・不良A・不良B」という特定の順番で出る確率は $0. 7^{3} \times 0.2 \times 0.1 = 0.00686$
5個の中で、どれが良品・不良A・不良Bになるかの並べ方は $\frac{5 !}{3 ! 1 ! 1 !} = 20$ 通り

なので、求める確率は $20 \times 0.00686 \approx 0.137$ です。一般に、 $k$ 種類の結果が確率 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ （合計1）で起きる試行を $n$ 回繰り返したとき、各結果が $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ 回（合計 $n$ ）出る確率は次の式です。

P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{k} = x_{k}) = \frac{n !}{x _{1} ! x _{2} ! \dots x _{k} !} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \dots p_{k}^{x_{k}}

前の分数が並べ方の数、後ろが1つの並べ方の確率です。結果が2種類（ $k = 2$ ）なら、並べ方の数 $\frac{n !}{x _{1} ! x _{2} !}$ は $_{n} C_{x_{1}}$ と同じになり、二項分布の式に戻ります。

1つの結果だけに注目すると、二項分布になります。例えば不良Aの個数だけを見れば、1個ごとに「不良Aか、それ以外か」の2択なので、 $B (5, 0.2)$ に従います。一般に $X_{i} \sim B (n, p_{i})$ で、期待値は $n p_{i}$ 、分散は $n p_{i} (1 - p_{i})$ です。

別々の結果の個数どうしは、負の相関を持ちます。合計が $n$ 個に決まっているので、良品が多ければそのぶん不良は少なくなるからです。共分散（相関・偏相関・条件付き期待値で学びました）は $Cov (X_{i}, X_{j}) = - n p_{i} p_{j}$ （ $i \neq = j$ ）です。

多項分布は、品質管理での良品・不良の種類別の個数や、アンケートの選択肢ごとの回答数、選挙の候補者ごとの得票数などに使われます。

確認クイズ（抜粋）

Q1. 幾何分布の「無記憶性」とはどういう性質か？

A. すでに何回失敗していても、そこから初めて成功するまでの残り回数の分布は、最初と同じ

Q2. コインを投げ続けて3回表が出るまでの試行回数の分布は何か？

A. 負の二項分布

Q3. 多項分布の各周辺分布はどの分布になるか？

A. 二項分布

全10問のクイズはサイトのインタラクティブ版でお試しください。

第2章の他のモジュール

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