ベータ・対数正規・コーシー分布：割合・掛け算・極端な値の分布

割合を表すベータ分布、掛け算で増える量を表す対数正規分布、期待値を持たないコーシー分布を学びます。

このモジュールで学ぶこと

指数分布とガンマ分布では、待ち時間の分布を学びました。このモジュールでは、待ち時間とは別の場面で使う連続型の分布を3つ学びます。

ベータ分布：割合や確率（0から1の値）
対数正規分布：所得や株価のように掛け算で増える量（0より大きい値）
コーシー分布：極端な値がよく出る量（すべての実数）

1. ベータ分布：割合の分布

広告のクリック率や選手の打率のように、0から1の間の値をとる量があります。こうした割合がどのあたりにありそうかを表すのがベータ分布 $Beta (α, β)$ です。

α が β より大きいと山は右寄り、小さいと左寄りになり、等しいと真ん中で左右対称になります。平均は α/(α+β) で、(2, 5) は 0.29、(5, 2) は 0.71、(2, 2) は 0.5 です。(1, 1) は0〜1のどこも同じ高さの一様分布です。

f (x) = \frac{x ^{α - 1} ( 1 - x ) ^{β - 1}}{B ( α , β )}, 0 < x < 1

分子の $x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}$ は、成功確率が $x$ のとき「成功 $α - 1$ 回、失敗 $β - 1$ 回」が起きる確率と同じ形です。 $α$ が大きいほど $x$ の大きい側が持ち上がり、山が右へ寄ります。

$B (α, β)$ はベータ関数で、全体の面積を1にするための数です。前のモジュールで学んだガンマ関数を使うと $B (α, β) = Γ (α) Γ (β) /Γ (α + β)$ と書けます。

期待値と分散は次のとおりです。

E [X] Var (X) = \frac{α}{α + β} = \frac{α β}{( α + β ) ^{2} ( α + β + 1 )}

例えば $Beta (2, 5)$ の期待値は $2/7 \approx 0.29$ です。 $α = β = 1$ では $f (x) = 1$ となり、0から1のどこも同じ高さの一様分布になります。

ベータ分布は、ベイズ推定で「成功確率がどのくらいの値でありそうか」を表す分布（事前分布）としてもよく使われます。

2. 対数正規分布：掛け算で増える量

所得や株価のように、0より大きく、一部がとても大きな値になる量があります。こうした量は、対数 $ln X$ をとると正規分布に従うことがよくあります。正規分布は、平均を中心に左右対称な釣鐘形の分布で、正規分布の性質で詳しく学びます。このときの $X$ の分布が対数正規分布 $LogN (μ, σ^{2})$ です。 $μ$ と $σ^{2}$ は、 $X$ ではなく $ln X$ の平均と分散です。

対数をとると正規分布になる理由は、掛け算にあります。株価が毎日「前の日の何倍か」で動くとすると、 $n$ 日後の株価 $X_{n}$ は、最初の株価 $X_{0}$ に毎日の倍率 $r_{1}, r_{2}, \dots$ を掛けたものです。対数をとると、掛け算は足し算に変わります。

ln X_{n} = ln X_{0} + ln r_{1} + \dots + ln r_{n}

独立な量をたくさん足したものは正規分布に近づきます（中心極限定理。大数の法則と中心極限定理で学びます）。なので $ln X_{n}$ は正規分布に近く、 $X_{n}$ は対数正規分布に近くなります。

ln X が平均0の正規分布に従うときの X の分布です。0より大きい値だけをとり、右に長い裾を引きます。σ = 1 では、真ん中の値（中央値）は1なのに、平均は裾に引っ張られて 1.65 になります。σ が大きいほど裾は長くなります。

期待値と分散は次のとおりです。

E [X] Var (X) = e^{μ + σ^{2} /2} = (e^{σ^{2}} - 1) e^{2 μ + σ^{2}}

$μ = 0$ 、 $σ = 1$ で比べます。 $ln X$ の真ん中の値は0なので、 $X$ の真ん中の値（中央値）は $e^{0} = 1$ です。一方、期待値は $e^{0.5} \approx 1.65$ です。右に長い裾が平均を引っ張るので、平均は中央値より大きくなります。所得の平均が、真ん中の人の所得より高く出るのも同じ理由です。

3. コーシー分布：期待値を持たない分布

コーシー分布は、正規分布に似た左右対称の山の形をしていますが、裾がずっと重い分布です。標準的なコーシー分布の確率密度関数は次の式です。

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}, - \infty < x < \infty

コーシー分布は真ん中の山が低く、そのぶん裾がゆっくりとしか下がりません。|X| が3を超える確率は、標準正規分布では 0.27% ですが、コーシー分布では 20.5% もあります。

$x$ が大きくなっても、密度は $1/ x^{2}$ くらいの速さでしか小さくなりません。正規分布の $e^{- x^{2} /2}$ よりずっと遅いので、極端な値がよく出ます。

この裾の重さのために、コーシー分布には期待値も分散もありません。期待値を計算する積分 $\int ∣ x ∣ f (x) d x$ が無限大になるからです。

参考積分が無限大になる理由読まなくても先へ進めます

$x$ が大きいところでは、 $∣ x ∣ f (x) = \frac{∣ x ∣}{π ( 1 + x ^{2} )}$ はほぼ $\frac{1}{π ∣ x ∣}$ です。 $1/ x$ を積分すると $ln x$ になり、 $x$ を大きくするといくらでも大きくなるので、積分は収束しません。

期待値が無いので、大数の法則（データを増やすほど標本平均が母平均に近づく）も成り立ちません。コーシー分布に従う独立な $n$ 個の値の平均は、 $n$ をいくら増やしても、元と同じコーシー分布に従います。1万個の平均をとっても、1個だけ見たときと散らばり方が変わりません。

そのため、コーシー分布の真ん中を推定するときは、平均ではなく中央値を使います。

コーシー分布は、自由度1の $t$ 分布（標本分布の相互関係で学びます）と同じ分布です。また、標準正規分布に従う独立な2つの変数の比 $Z_{1} / Z_{2}$ も、コーシー分布に従います。

確認クイズ（抜粋）

Q1. $Beta (3, 7)$ に従う確率変数の期待値はいくらか？

A. 0.3

Q2. ベータ関数 $B (2, 3)$ の値はいくらか？

A. $1/12$

Q3. ベータ分布 $Beta (α, β)$ で、 $β$ を変えずに $α$ を大きくすると、分布の山はどうなるか？

A. 1に近い側へ寄る

全10問のクイズはサイトのインタラクティブ版でお試しください。

第3章の他のモジュール

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